Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right) – {{\log }_2}\left( {x + 21} \right)} \right]\left( {16 – {2^{x – 1}}} \right) \ge 0\) ?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right) – {{\log }_2}\left( {x + 21} \right)} \right]\left( {16 – {2^{x – 1}}} \right) \ge 0\) ?

A. Vô số.

B. \[17\] .

C. \[16\] .

D. \[18\] .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x > – 21\)

Có \[\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right) – {{\log }_2}\left( {x + 21} \right)} \right]\left( {16 – {2^{x – 1}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) – {\log _2}\left( {x + 21} \right) \ge 0\\16 – {2^{x – 1}} \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) – {\log _2}\left( {x + 21} \right) \le 0\\16 – {2^{x – 1}} \le 0\end{array} \right.\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _2}\left( {x + 21} \right)\\{2^{x – 1}} \le 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ge x + 21\\x – 1 \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – x – 20 \ge 0\\x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le – 4\end{array} \right.\\x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x \le – 4\end{array} \right.\)

\[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) \le {\log _2}\left( {x + 21} \right)\\{2^{x – 1}} \ge 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \le x + 21\\x – 1 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – x – 20 \le 0\\x \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4 \le x \le 5\\x \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\]

Kết hợp và trường hợp ta được \(\left[ \begin{array}{l}x \le – 4\\x = 5\end{array} \right.\)

Đối chiếu điều kiện \(x > – 21\) ta có \(x \in \left[ { – 20; – 4} \right] \cup \left\{ 5 \right\}\). Vậy có 18 giá trị nguyên của \(x\).

=======