Đề toán 2022 [2D2-4.4-4]  Xét tất cả các số thực \(x\), \(y\) sao cho \({49^{9 – {y^2}}} \ge {a^{4x – {{\log }_7}{a^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x – 3y\) bằng.

Đề toán 2022 [2D2-4.4-4]  Xét tất cả các số thực \(x\), \(y\) sao cho \({49^{9 – {y^2}}} \ge {a^{4x – {{\log }_7}{a^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x – 3y\) bằng.

A. \(\frac{{121}}{4}\). B. \(\frac{{39}}{4}\). C. \(24\). D. \(39\).

Lời giải

+) Với mọi số thực dương \(a\), ta có: 

\(\begin{array}{l}{49^{9 – {y^2}}} \ge {a^{4x – {{\log }_7}{a^2}}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {9 – {y^2}} \right) \ge \left( {4x – {{\log }_7}{a^2}} \right).{\log _7}a\\ \Leftrightarrow 9 – {y^2} \ge \left( {2x – {{\log }_7}a} \right).{\log _7}a\\ \Leftrightarrow \log _7^2a – 2x.{\log _7}a + {x^2} \ge {x^2} + {y^2} – 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_7}a + x} \right)^2} \ge {x^2} + {y^2} – 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 9 \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0\,;\, + \infty } \right)} \left[ {{{\left( {{{\log }_7}a + x} \right)}^2}} \right]\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 9 \le 0\).

+)  Ta có: 

\(P = {x^2} + {y^2} + 4x – 3y \le 9 + \sqrt {\left( {{4^2} + {3^2}} \right).\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}  = 9 + \sqrt {25.9}  = 24\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(24\), đạt được khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{4} = \frac{y}{{ – 3}}\\{x^2} + {y^2} – 9 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 3x}}{4}\\{x^2} + {\left( {\frac{{ – 3x}}{4}} \right)^2} – 9 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 3x}}{4}\\ – \frac{{12}}{5} \le x \le \frac{{12}}{5}\end{array} \right.\).

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.