Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn\(\left( {{3^{{x^3}}} – \frac{1}{{{9^{x + 6}}}}} \right).\left( {{{\log }_5}\left( {x + 4} \right) – 2} \right) \le 0\). \(\left( 1 \right)\)

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn\(\left( {{3^{{x^3}}} – \frac{1}{{{9^{x + 6}}}}} \right).\left( {{{\log }_5}\left( {x + 4} \right) – 2} \right) \le 0\). \(\left( 1 \right)\)

A. \(25\).

B. \(26\).

C. \(24\).

D. Vô số.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tác giả: Hương Đào

Điều kiện xác định: \(x > – 4\).

Với điều kiện \(x > – 4\) ta có:

\(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^{{x^3}}} – {9^{ – x – 6}}} \right).\left( {{{\log }_5}\left( {x + 4} \right) – 2} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^{{x^3}}} – {3^{ – 2x – 12}}} \right).\left( {{{\log }_5}\left( {x + 4} \right) – 2} \right) \le 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^3}}} – {3^{ – 2x – 12}} \ge 0\\{\log _5}\left( {x + 4} \right) – 2 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^3}}} – {3^{ – 2x – 12}} \le 0\\{\log _5}\left( {x + 4} \right) – 2 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} \ge – 2x – 12\\0 < x + 4 \le 25\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x^3} \le – 2x – 12\\x + 4 \ge 25\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2x + 12 \ge 0\\ – 4 < x \le 21\end{array} \right.\left( 2 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2x + 12 \le 0\\x \ge 21\end{array} \right.\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x + 12\)

Ta có:\(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2 > 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\)đồng biến trên\(\mathbb{R}\). Lại có \(f\left( { – 2} \right) = 0\) do đó

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 2\\ – 4 < x \le 21\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow – 2 \le x \le 21\).

\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le – 2\\x \ge 21\end{array} \right.\).

Đối chiếu điều kiện \(x \in \mathbb{Z}\)ta được\(x \in \left\{ { – 2; – 1;0;…;21} \right\}\).

Tổng số \(24\) giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn.

Vậy chọn đáp án

C.

=======