Đề toán 2022 [2D2-6.1-3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{5^b} – 1} \right)\left( {a{{.2}^b} – 5} \right) < 0\)

Đề toán 2022 [2D2-6.1-3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{5^b} – 1} \right)\left( {a{{.2}^b} – 5} \right) < 0\)

A. \(20\). B. \(21\). C. \(22\). D. \(19\).

Lời giải

Ta có \(\left( {{5^b} – 1} \right)\left( {a{{.2}^b} – 5} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{5^b} – 1 > 0\\a{.2^b} – 5 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{5^b} – 1 < 0\\a{.2^b} – 5 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b > 0\\b < {\log _2}\frac{5}{a}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b < 0\\b > {\log _2}\frac{5}{a}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < b < {\log _2}\frac{5}{a}\\{\log _2}\frac{5}{a} < b < 0\end{array} \right.\)

TH1: \(0 < b < {\log _2}\frac{5}{a}\) . Để ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\)thì \(2 < {\log _2}\frac{5}{a} \le 3\)

Suy ra \({2^2} < \frac{5}{a} \le {2^3} \Leftrightarrow \frac{5}{8} \le a < \frac{5}{4} \Rightarrow a = 1\)

Có 1 số nguyên dương \(a\) thỏa mãn trong trường hợp này.

TH2: \({\log _2}\frac{5}{a} < b < 0\). Để ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\)thì \( – 3 \le {\log _2}\frac{5}{a} <  – 2\)

Suy ra \({2^{ – 3}} \le \frac{5}{a} < {2^{ – 2}} \Leftrightarrow 4 < \frac{a}{5} \le 8 \Leftrightarrow 20 < a \le 40 \Rightarrow a \in \left\{ {21;22;23;…;40} \right\}\)

Có 20 số nguyên dương \(a\) thỏa mãn trong trường hợp này.

Vậy có tất cả 21 số nguyên dương \(a\) thỏa bài toán.

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.