Có bao nhiêu số nguyên \(y\) nhỏ hơn 2020 sao cho tồn tại số thực dương \(x\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({7^{2 + \sqrt {y + 1} }} – {7^{2x + \sqrt {y + 1} }} \ge 2021.{\log _2}x\) và \({x^2} – \left( {y + 2} \right)x + 2y – 3 \ge 0\).

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên \(y\) nhỏ hơn 2020 sao cho tồn tại số thực dương \(x\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({7^{2 + \sqrt {y + 1} }} – {7^{2x + \sqrt {y + 1} }} \ge 2021.{\log _2}x\) và \({x^2} – \left( {y + 2} \right)x + 2y – 3 \ge 0\).

A. \(6\).

B. \(3\).

C. \(2016\).

D. \(2018\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

+)Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y \ge – 1\end{array} \right.\)

+)Xét bất phương trình: \({7^{2 + \sqrt {y + 1} }} – {7^{2x + \sqrt {y + 1} }} \ge 2021.{\log _2}x \Leftrightarrow {7^{\sqrt {y + 1} }}\left( {{7^2} – {7^{2x}}} \right) \ge 2021.{\log _2}x\)

+)Với \(0 < x \le 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{7^{\sqrt {y + 1} }}\left( {{7^2} – {7^{2{\rm{x}}}}} \right) \ge 0\\2021.{\log _2}x \le 0\end{array} \right.\) nên thỏa mãn bất phương trình.

+)Với \(x > 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{7^{\sqrt {y + 1} }}\left( {{7^2} – {7^{2{\rm{x}}}}} \right) < 0\\2021.{\log _2}x > 0\end{array} \right.\) nên bất phương trình vô nghiệm

+)Với \(0 < x \le 1\) xét bất phương trình: \({x^2} – \left( {y + 2} \right)x + 2y – 3 \ge 0 \Leftrightarrow y\left( {x – 2} \right) \le {x^2} – 2x – 3 \Leftrightarrow y \ge \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{x – 2}}\)

+)Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{x – 2}}\) trên \(\left( {0;1} \right]\)

Ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 4x + 7}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( {0;1} \right]\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để tồn tại số thực dương \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(y > \frac{3}{2}\). Do đó có 2018 số nguyên \(y\) nhỏ hơn 2020 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======