Đề toán 2022 Xét tất cả các số thực \(x\), \(y\) sao cho \({8^{9 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_2}{a^3}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 6x – 8y\) bằng

Đề toán 2022 Xét tất cả các số thực \(x\), \(y\) sao cho \({8^{9 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_2}{a^3}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 6x – 8y\) bằng

A. \( – 21\). B. \( – 6\). C. \( – 25\). D. \(39\).

Lời giải

Đặt \(t = {\log _2}a\) \(\left( {t \in R} \right)\)\( \Rightarrow a = {2^t}\). Ta có:

\(\begin{array}{l}{8^{9 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_2}{a^3}}}\\ \Leftrightarrow {2^{3\left( {9 – {y^2}} \right)}} \ge {2^{t\left( {6x – 3t} \right)}}\\ \Leftrightarrow 3\left( {9 – {y^2}} \right) \ge 6tx – 3{t^2}\\ \Leftrightarrow 3{t^2} – 2tx – {y^2} + 9 \ge 0\end{array}\)

\({8^{9 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_2}{a^3}}}\) đúng với mọi số thực dương \(a\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} – 2tx – {y^2} + 9 \ge 0\) đúng với mọi \(t \in R\)

\( \Leftrightarrow {\Delta ‘_t} \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 9 \le 0\) (1).

Ta có \(P = {x^2} + {y^2} – 6x – 8y = {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} – 25\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\), Gọi \(M\left( {x;y} \right)\), \(A\left( {3;4} \right)\).

Từ (1) suy ra \(M\) nằm trong hình tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 3\).

\(P = M{A^2} – 25 \ge {\left( {OA – R} \right)^2} – 25 =  – 21.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OA} \) cùng hướng \( \Leftrightarrow M\left( {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\).

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.