Đề toán 2022 [Mức độ 4] Xét tất cả các số thực  \(x,y\) sao cho \({a^{4x – {{\log }_5}{a^2}}} \le {25^{40 – {y^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + x – 3y\) bằng

Đề toán 2022 [Mức độ 4] Xét tất cả các số thực  \(x,y\) sao cho \({a^{4x – {{\log }_5}{a^2}}} \le {25^{40 – {y^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + x – 3y\) bằng

A. \(\frac{{125}}{2}\). B. \(80\). C. \(60\). D. \(20\).

Lời giải

Do \(a\) dương nên \({a^{4x – {{\log }_5}{a^2}}} \le {25^{40 – {y^2}}} \Leftrightarrow {a^{4x – 2{{\log }_5}a}} \le {5^{2\left( {40 – {y^2}} \right)}}\)   \(\left( 1 \right)\).

Đặt \({\log _5}a = t\) thì \(a = {5^t}\). 

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {5^{t\left( {4x – 2t} \right)}} \le {5^{2\left( {40 – {y^2}} \right)}} \Leftrightarrow 2tx – {t^2} \le 40 – {y^2} \Leftrightarrow {t^2} – 2tx + 40 – {y^2} \ge 0\)  \(\left( 2 \right)\).

\(\left( 1 \right)\) đúng với mọi số thực dương \(a\) khi và chỉ khi \(\left( 2 \right)\) đúng với mọi số thực \(t\) \( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {x^2} + {y^2} – 40 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 40\).

Theo bất đẳng thức Bunhia – Coopxki, ta có \({\left( {x – 3y} \right)^2} \le 10\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 10.40 = 400\).

\( \Rightarrow x – 3y \le 20\).

Khi đó \(P = {x^2} + {y^2} + x – 3y \le 40 + 20 = 60\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 40\\x = \frac{y}{{ – 3}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  – 6\end{array} \right.\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(60\).

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.