Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng ba số nguyên \(b\) thoả mãn \(\left( {{3^b} – 3} \right)\left( {a{{.2}^b} – 18} \right) < 0\)?

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng ba số nguyên \(b\) thoả mãn \(\left( {{3^b} – 3} \right)\left( {a{{.2}^b} – 18} \right) < 0\)?

A. 72. B. 73. C. 71. D. 74.

Lời giải

TH1: \({3^b} – 3 > 0 \Leftrightarrow b > 1\,\)

Khi đó: \(a{.2^b} – 18 < 0 \Rightarrow {2^b} < \frac{{18}}{a}\)

Suy ra, 3 giá trị nguyên \(b\) có thể là \(b \in \left\{ {2;3;4} \right\}\).

Do đó: \({2^4} < \frac{{18}}{a} \le {2^5} \Rightarrow \frac{9}{{16}} \le a < \frac{9}{8} \Rightarrow a = 1\).

TH2: \({3^b} – 3 < 0 \Leftrightarrow b < 1\,\,\)

Khi đó: \(a{.2^b} – 18 > 0 \Rightarrow {2^b} > \frac{{18}}{a}\)

Suy ra, 3 giá trị nguyên \(b\) có thể là \(b \in \left\{ { – 2; – 1;0} \right\}\).

Do đó: \({2^{ – 3}} \le \frac{{18}}{a} < {2^{ – 2}} \Rightarrow 72 < a \le 144\).

Số giá trị nguyên dương của \(a\) trong trường hợp này là: 144 – 73 + 1 = 72.

Vậy có tổng cộng 1 + 72 = 73 giá trị \(a\) thoả mãn.

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.