Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại \(y \in \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};2} \right)\) thỏa mãn\({8^{{y^2} + xy}} = \left( {1 + 2xy} \right){.8^y}\)?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại \(y \in \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};2} \right)\) thỏa mãn\({8^{{y^2} + xy}} = \left( {1 + 2xy} \right){.8^y}\)?

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình đã cho tương đương với \({2^{3{y^2} + 3xy – 3y}} = 1 + 2xy\).

Suy ra \(1 + 2xy > 0 \Leftrightarrow x > – \frac{1}{{2y}}\), mà \(y > \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow x > – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

+ Nếu\(x = 0\) thay vào phương trình ban đầu ta được \({8^{{y^2}}} = {8^y} \Rightarrow y = 1\).

+ Nếu\(x = 1\) thay vào phương trình ban đầu ta được \({8^{{y^2} + y}} = \left( {1 + 2y} \right){8^y} \Leftrightarrow {8^{{y^2}}} = 1 + 2y\).

Khảo sát hàm số \(f\left( y \right) = {8^{{y^2}}} – 1 – 2y\) ta có \(f’\left( y \right) = {8^{{y^2}}}.\ln 8.2y – 2 > {8^{\frac{1}{2}}}.\ln 8.2.\frac{1}{{\sqrt 2 }} – 2 > 0,\,\,\forall y > \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};2} \right)\). Khi đó \(f\left( y \right) > f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) > 0\).

+) Nếu \(x \ge 2\), xét phương trình tương đương là \({2^{3{y^2} + 3xy – 3y}} = 1 + 2xy\).

Khi đó \(3{y^2} + 3xy – 3y = 3{y^2} + 3y\left( {x – 1} \right) > 3.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} > 1\).

Xét hàm \(g\left( t \right) = {2^t} – t – 1\). Khảo sát hàm số ta thấy \(g\left( t \right) > 0\,\forall t > 1\).

Vì vậy \({2^t} > t + 1\,\forall t > 1\). Áp dụng bất đẳng thức này với \(t = 3{y^2} + 3xy – 3y > 1\).

ta có \({2^{3{y^2} + 3xy – 3y}} > 3{y^2} + 3xy – 3y + 1\).

Mà \(\left( {3{y^2} + 3xy – 3y + 1} \right) – \left( {2xy + 1} \right) = 3{y^2} + xy – 3y = 3{y^2} + y\left( {x – 3} \right) \ge 3{y^2} – y > 0\,\forall y > \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra \({2^{3{y^2} + 3xy – 3y}} > 2xy + 1\) nên phương trình ban đầu vô nghiệm.

Vậy chỉ có \(x = 0\)thỏa mãn đề bài.

=======