Số giá trị nguyên của tham số\(m\) để phương trình
\(\sqrt {\log _2^2x + 3{{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} – 7} = m\left( {{{\log }_4}{x^2} – 7} \right)\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {256;\, + \infty } \right)\)là:
A. vô số.
B. \(4\).
C. \(3\).
D. \(1\).
Lời giải
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} > 0\\\log _2^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}{x^2} – 7 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 128\\x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 128\\0 < x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Khi phương trình \( \Leftrightarrow \) \(\sqrt {\log _2^2x – 6{{\log }_2}x – 7} = m\left( {{{\log }_2}x – 7} \right)\) .
Đặt \(t = {\log _2}x\). Do \(x \in \left( {256;\, + \infty } \right) \Rightarrow t \in \left( {8; + {\infty ^{}}} \right)\).
Phương trình trở thành: \(\sqrt {{t^2} – 6t – 7} = m\left( {t – 7} \right) \Leftrightarrow m = \frac{{\sqrt {{t^2} – 6t – 7} }}{{t – 7}}\) .
Để phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {256;\, + \infty } \right)\)khi và chỉ khi phương trình có nghiệm \(t \in \left( {8; + \infty } \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{\sqrt {{t^2} – 6t – 7} }}{{t – 7}} = \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t – 7}}} \) trên khoảng \(\left( {8; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{{ – 8}}{{{{\left( {t – 7} \right)}^2}}}.\frac{1}{{2\sqrt {\frac{{t + 1}}{{t – 7}}} }} < 0,\forall t \in \left( {8; + \infty } \right)\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi \(1 < m < 3,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 2\). Vậy có 1 giá trị \(m\) nguyên thỏa mãn.
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit
Trả lời