. Số nghiệm của phương trình \({\log _9}{\left( {x – 2} \right)^2} + 1 = {\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {4 – x} + {\log _{27}}{\left( {x + 4} \right)^3}\) là

Câu hỏi:

. Số nghiệm của phương trình \({\log _9}{\left( {x – 2} \right)^2} + 1 = {\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {4 – x} + {\log _{27}}{\left( {x + 4} \right)^3}\) là

A. \(4\).

B. \(1\).

C. \(3\).

D. \(2\).

Lời giải

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 2} \right)^2} > 0\\4 – x > 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\ – 4 < x < 4\end{array} \right.\)

Khi đó: \({\log _9}{\left( {x – 2} \right)^2} + 1 = {\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {4 – x} + {\log _{27}}{\left( {x + 4} \right)^3}\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left| {x – 2} \right| + 1 = {\log _3}\left( {4 – x} \right) + {\log _3}\left( {x + 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3\left| {x – 2} \right|} \right) = {\log _3}\left( {4 – x} \right)\left( {x + 4} \right)\)\( \Leftrightarrow 3\left| {x – 2} \right| = 16 – {x^2}\).

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\ – 4 < x < 4\end{array} \right.\) thì \(16 – {x^2} > 0\). Nên suy ra:

\(\left[ \begin{array}{l}3\left( {x – 2} \right) = 16 – {x^2}\\3\left( {x – 2} \right) = – 16 + {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x – 22 = 0\\{x^2} – 3x – 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ – 3 + \sqrt {97} }}{2}\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\\x = \frac{{ – 3 – \sqrt {97} }}{2}\,\,\,\,\,\,\left( {\rm{L}} \right)\\x = – 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\\x = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x = – 2\) và \(x = \frac{{ – 3 + \sqrt {97} }}{2}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit