. Bất phương trình \({4^x} – \left( {x + 5} \right){2^x} + 4\left( {x + 1} \right) \ge 0\) có tập nghiệm \(S = \left[ {a;b} \right] \cup \left[ {c; + \infty } \right)\). Tính tổng \(a + b + c\).

Câu hỏi:

. Bất phương trình \({4^x} – \left( {x + 5} \right){2^x} + 4\left( {x + 1} \right) \ge 0\) có tập nghiệm \(S = \left[ {a;b} \right] \cup \left[ {c; + \infty } \right)\). Tính tổng \(a + b + c\).

A. 2.

B. 4.

C. 5.

D. 3.

Lời giải

Đặt \(t = {2^x}\), \(t > 0\).

Bất phương trình đã cho trở thành:

\({t^2} – \left( {x + 5} \right)t + 4\left( {x + 1} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {t – 4} \right)\left( {t – x – 1} \right) \ge 0\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}t – 4 \ge 0\\t – x – 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 4\\t – x – 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} \ge 4{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{2^x} – x – 1 \ge 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét bất phương trình \(\left( 2 \right)\):

Đặt \(g\left( x \right) = {2^x} – x – 1\) trên \(\mathbb{R}\).

\(g’\left( x \right) = {2^x}\ln 2 – 1\).

Gọi \({x_0}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(g’\left( x \right) = 0\), \({x_0} > 0\)

Khi đó, \(g\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất hai nghiệm.

Xét thấy, \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\)

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có, \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 1\end{array} \right.\)

Ta lại có, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \ge 2\).

Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra, \(x \ge 2\). \(\left( * \right)\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}t – 4 \le 0\\t – x – 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 4\\t – x – 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} \le 4{\rm{ }}\left( 3 \right)\\{4^x} – x – 1 \le 0{\rm{ }}\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Xét bất phương trình \(\left( 4 \right)\):

Đặt \(g\left( x \right) = {2^x} – x – 1\) trên \(\mathbb{R}\).

\(g’\left( x \right) = {2^x}\ln 2 – 1\).

Gọi \({x_0}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(g’\left( x \right) = 0\), \({x_0} > 0\)

Khi đó, \(g\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất hai nghiệm.

Xét thấy, \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\)

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có, \(\left( 4 \right) \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\)

Ta lại có, \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow x \le 2\).

Kết hợp \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra, \(0 \le x \le 1\). \(\left( {**} \right)\)

Kết hợp \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) ta được tập nghiệm của BPT đã cho là \(S = \left[ {0;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ