. Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(\left( {{x^2} + {y^2} – 2x – 24} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{5x + 2y – 20}}} \right) + {x^2} + {y^2} – 20x – 8y + 78} \right] \le 0\).

Câu hỏi:

. Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(\left( {{x^2} + {y^2} – 2x – 24} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{5x + 2y – 20}}} \right) + {x^2} + {y^2} – 20x – 8y + 78} \right] \le 0\).

A. \(116\).

B. \(187\).

C. \(119\).

D. \(120\).

Lời giải

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + {y^2} – 2x – 24} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{5x + 2y – 20}}} \right) + {x^2} + {y^2} – 20x – 8y + 78} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} – 2x – 24 \ge 0}\\{{{\log }_2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{5x + 2y – 20}}} \right) + {x^2} + {y^2} – 20x – 8y + 78 \le 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} – 2x – 24 \le 0}\\{{{\log }_2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{5x + 2y – 20}}} \right) + {x^2} + {y^2} – 20x – 8y + 78 \ge 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \ge {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{{\log }_2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {x^2} + {y^2} – {{\log }_2}\left( {5x + 2y – 20} \right) – 4\left( {5x + 2y – 20} \right) – 2 \le 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \le {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{{\log }_2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {x^2} + {y^2} – {{\log }_2}\left( {5x + 2y – 20} \right) – 4\left( {5x + 2y – 20} \right) – 2 \ge 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \ge {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{{\log }_2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \right) + {x^2} + {y^2} \le {{\log }_2}\left( {5x + 2y – 20} \right) + 4\left( {5x + 2y – 20} \right)}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \le {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{{\log }_2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \right) + {x^2} + {y^2} \ge {{\log }_2}\left( {5x + 2y – 20} \right) + 4\left( {5x + 2y – 20} \right)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\({\log _2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}} \right) + {x^2} + {y^2} \ge {\log _2}\left( {5x + 2y – 20} \right) + 4\left( {5x + 2y – 20} \right)\)có dạng \(f\left( u \right) > f\left( v \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 4t\) , \( \Rightarrow f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 4t > 0\forall t > 0\). Hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 4t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) .

Nên \(f\left( u \right) \ge f\left( v \right) \Leftrightarrow u \ge v\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \ge {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{x^2} + {y^2} \le 4\left( {5x + 2y – 20} \right)}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \le {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{x^2} + {y^2} \ge 4\left( {5x + 2y – 20} \right)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \ge {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{{\left( {x – 10} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2} \le {6^2}}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \le {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{{\left( {x – 10} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2} \ge {6^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\).

Xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \le {5^2}(1)}\\{5x + 2y – 20 > 0(2)}\\{{{\left( {x – 10} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2} \ge {6^2}(3)}\end{array}} \right.\).

Do \({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \le {5^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x – 1} \right| \le 5\\\left| y \right| \le 5\\x,y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \left\{ { \pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1;0;5;6} \right\}\\y = \left\{ { \pm 5; \pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1;0} \right\}\end{array} \right.\) .

Thay vào \(5x + 2y – 20 > 0(2)\) theo hình vẽ thấy

\(\left( {6,0} \right);\left( {5,0} \right);\left( {5,1} \right);\left( {5,2} \right);\left( {5,3} \right)\left( {5, – 1} \right);\left( {5, – 2} \right);\left( {5, – 3} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,2} \right);\left( {4,3} \right);\left( {3,3} \right);\left( {3,4} \right)\) .

Kết hợp với \({\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} \ge {6^2}(3)\)

Ta có: \(\left( {5,0} \right);\left( {5, – 1} \right);\left( {5, – 2} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,2} \right);\left( {4,3} \right);\left( {3,3} \right);\left( {3,4} \right)\)Thay vào ; ; ta thấy có \(8\) cặp số thoã mãn

Xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} \ge {5^2}}\\{5x + 2y – 20 > 0}\\{{{\left( {x – 10} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2} \le {6^2}}\end{array}} \right.\),

\({\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} \le {6^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x – 10} \right| \le 6\\\left| {y – 4} \right| \le 6\\x,y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 \le x \le 16\\ – 2 \le y \le 10\end{array} \right.\).

Có \(13.13 = 169\) điểm,

do nằm trong và trên đường tròn \({\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} \le {6^2}\) nên loại \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {4; – 2} \right);\left( {4; – 1} \right);\left( {4;0} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5; – 2} \right);\left( {5; – 1} \right);\left( {5;0} \right)\\\left( {6; – 2} \right);\left( {6; – 1} \right);\left( {7; – 2} \right);\left( {8; – 2} \right);\left( {9; – 2} \right)\end{array} \right\}\) do tính đối xứng của đường tròn nên loại \(14.4 = 56\) điểm.

Dựa vào điều kiện \({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \ge {5^2}\) .

Vậy có \(13.13 – 14.4 – 2 = 119\)

Vậy có \(111 + 8 = 119\) điểm thoã mãn yêu cầu bài toán.

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit