. Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left| {{x^2} – x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} – x + 2} \right)\) là

Câu hỏi:

. Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left| {{x^2} – x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} – x + 2} \right)\) là

A. \(0\).

B. \(4\).

C. \(1\).

D. \(2\).

Lời giải

Điều kiện : \(x \ne 0,x \ne 1\).

Đặt \(t = {x^2} – x\), ta được phương trình \({\log _3}\left| t \right| = {\log _5}\left( {t + 2} \right)\).

Đặt \({\log _3}\left| t \right| = {\log _5}\left( {t + 2} \right) = u\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\left| t \right| = {3^u}\\t + 2 = {5^u}\end{array} \right.\), suy ra

\(\left| {{5^u} – 2} \right| = {3^u} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^u} = {3^u} + 2\\{5^u} + {3^u} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{5}} \right)^u} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u} – 1 = 0,\left( 1 \right)\\{5^u} + {3^u} – 2 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải \(\left( 1 \right)\). Ta có : \(f\left( u \right) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^u} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u} – 1\) có \(f’\left( u \right) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^u}\ln \frac{3}{5} + 2.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u}\ln \frac{1}{5} < 0,\forall u\) nên \(f\left( u \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) mà \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(u = 1\), suy ra \(t = 3\), ta được phương trình \({x^2} – x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}\)

Giải \(\left( 2 \right)\). Ta có \(f\left( u \right) = {5^u} + {3^u} – 2\) có \(f’\left( u \right) = {5^u}\ln 5 + {3^u}\ln 3 > 0,\forall u\) nên \(f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) mà \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất \(u = 0\), suy ra \(t = – 1\), suy ra \({x^2} – x + 1 = 0\) .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit