. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({9^x} – \left( {m – 1} \right){3^x} – m – 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
A. \(\frac{1}{2} < m < \frac{{11}}{4}\).
B. \(\frac{1}{3} < m < \frac{{11}}{4}\).
C. \(\frac{5}{4} < m < \frac{7}{4}\).
D. \(1 < m < \frac{5}{4}\).
Lời giải
Đặt \(t = {3^x}\). Vì \(x \in \left( {0;1} \right)\) nên \(t \in \left( {1;3} \right)\) và ứng với một giá trị \(t \in \left( {1;3} \right)\) thì có 1 nghiệm \(x \in \left( {0;1} \right)\).
Phương trình \({9^x} – \left( {m – 1} \right){3^x} – m – 1 = 0\) trở thành:
\({t^2} – \left( {m – 1} \right)t – m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} + t – 1}}{{t + 1}} = f\left( t \right)\), \(t \in \left( {1;3} \right)\).
Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + t – 1}}{{t + 1}}\) và đường thẳng: \(\left( d \right):y = m\) trên khoảng \(t \in \left( {1;3} \right)\)
Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t + 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\)\(\forall t \in \left( {1;3} \right)\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m \in \left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{4}} \right)\) .
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ
Trả lời