Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có cạnh bên bằng \(2a\) , góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng

Câu hỏi:
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có cạnh bên bằng \(2a\) , góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \) . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\frac{{8\sqrt 3 }}{{27}}{a^3}\) .

B. \(8\sqrt 3 {a^3}\) .

C. \(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}{a^3}\) .

D. \(\frac{{8\sqrt 3 }}{9}{a^3}\) .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) .

Dễ thấy \(BC \bot \left( {A’MA} \right)\) và \(\left( {A’BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\) . Suy ra \(\left( {\left( {A’BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A’MA} = 60^\circ \) .

Ta có: \(\tan \widehat {A’MA} = \frac{{AA’}}{{AM}} \Rightarrow AM = \frac{{AA’}}{{\tan \widehat {A’MA}}} = \frac{{2a}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\) .

⇒ \(AB = \frac{2}{{\sqrt 3 }}AM = \frac{{4a}}{3}\) ⇒ \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{{4a}}{3}} \right)^2} = \frac{{4\sqrt 3 {a^2}}}{9}\) .

Vậy \({V_{ABC.A’B’C’}} = AA’.{S_{\Delta ABC}} = 2a.\frac{{4\sqrt 3 {a^2}}}{9} = \frac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{9}\) .

=======