[SỞ BN L1] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: [SỞ BN L1] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. 

 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình\(f\left( {\left| {\frac{{3\sin x – \cos x – 1}}{{2\cos x – \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + 4m + 4} \right)\) \(\left( 1 \right)\) có nghiệm?

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \(5\).

D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

 Cách 1: PP tự luận truyền thống 

Đặt \(t = \frac{{3\sin x – {\kern 1pt} \cos x – 1}}{{2\cos x – \sin \,x + 4}}\)\( \Leftrightarrow \left( {2t + 1} \right){\kern 1pt} \cos x – \left( {t + 3} \right){\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} x =  – 1 – 4t\) \(\left( * \right)\).

Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \)\({\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 3} \right)^2} \ge {\left( {4t + 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow  – \frac{9}{{11}} \le t \le 1\) .

Suy ra \(0 \le \left| t \right| \le 1\). 

Từ đồ thị \(y = f\left( x \right)\) ta có

* \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) 

  *\({m^2} + 4m + 4 = {\left( {m + 2} \right)^2} \in \left[ {0; + \infty } \right)\) .

  *\(\left| t \right| \in \left[ {0; + \infty } \right)\) 

 Nên\(f\left( {\left| {\frac{{3\sin x – \cos x – 1}}{{2\cos x – \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + 4m + 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(f\left( {\left| t \right|} \right) = f\left( {{m^2} + 4m + 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \left| t \right| = {m^2} + 4m + 4\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \)\(0 \le {m^2} + 4m + 4 \le 1\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 1\) \( \Leftrightarrow \) \( – 3 \le m \le  – 1\) .

Do \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { – 3; – 2; – 1} \right\}\) ChọnA.

 Cách2:Dùng bảng biến thiên:

Đặt \(t = \frac{{3\sin x – {\kern 1pt} \cos x – 1}}{{2\cos x – \sin \,x + 4}}\)\( \Leftrightarrow \left( {2t + 1} \right){\kern 1pt} \cos x – \left( {t + 3} \right){\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} x =  – 1 – 4t\) \(\left( * \right)\).

Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \)\({\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 3} \right)^2} \ge {\left( {4t + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 11{t^2} – 2t – 9 \le 0\)\( \Leftrightarrow  – \frac{9}{{11}} \le t \le 1\) .

Suy ra \(0 \le \left| t \right| \le 1\). 

Dựa vào đồ thị trên \(\left[ {0;1} \right]\)hàm số \(f\left( {\left| t \right|} \right)\)luông đồng biến. Do đó để phương trình\(f\left( {\left| t \right|} \right) = f\left( {{m^2} + 4m + 4} \right)\) có nghiệm trên \(\left[ {0;1} \right]\) tức là đồ thị \(y = f\left( {\left| t \right|} \right)\)cắt đường thẳng \(y = f\left( {{m^2} + 4m + 4} \right)\)thì \(0 \le {m^2} + 4m + 4 \le 1\) \( \Leftrightarrow \) \( – 3 \le m \le  – 1\) .

Do \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { – 3; – 2; – 1} \right\}\) ChọnA.

=======