Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f(x) + m}}} \right) = {x^3} – m\) có nghiệm \(x \in \left[ {1;\,2} \right]\) biết \(f(x) = {x^5} + 3{x^3} – 4m\).

Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f(x) + m}}} \right) = {x^3} – m\) có nghiệm \(x \in \left[ {1;\,2} \right]\) biết \(f(x) = {x^5} + 3{x^3} – 4m\).

A. 16.

B. 15.

C. 17.

D. 18.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(t = \sqrt[3]{{f(x) + m}} \to {t^3} = f(x) + m\). Ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}f(t) = {x^3} – m\\\,\,\,\,\,t\,\,\,\, = f(x) + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(t) = {x^3} – m\\f(x)\, = {t^3} – m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(t) + {t^3} = f(x)\,\, + {x^3}(*)\\f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {t^3} – m\end{array} \right.\).

Vì \(f(x) = {x^5} + 3{x^3} – 4m,\,f'(x) = 5{x^4} + 9{x^2} \ge 0,\forall x \in \)\(\mathbb{R}\) nên hàm số \(h(x) = f(x) + {x^3}\)đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó: \((*) \Leftrightarrow x = t\).

Khi đó ta được: \(f(x) = {x^3} – m = {x^5} + 3{x^3} – 4m \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} = 3m \Leftrightarrow g(x) = \frac{1}{3}{x^5} + \frac{2}{3}{x^3} = m(**)\).

Dễ thấy \(g(x) = \frac{1}{3}{x^5} + \frac{2}{3}{x^3}\) đồng biến trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) nên phương trình (**) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {1;\,2} \right]\) khi và chỉ khi: \(g(1) \le m \le g(2) \Leftrightarrow 1 \le m \le 16.\)

Vì \(m\) thuộc số nguyên nên có 16 số thỏa mãn bài toán.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Sự tương giao đồ thị hàm số