Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) của phương trình \(\left| {f({x^2} – 2x)} \right| = 2\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) của phương trình \(\left| {f({x^2} – 2x)} \right| = 2\) là

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(5\).

D. \(6\).

Lời giải

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống

Chọn B

Ta có phương trình \(\left| {f({x^2} – 2x)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f({x^2} – 2x) = 2\\f({x^2} – 2x) =  – 2\end{array} \right.\).

Từ đồ thị hàm số đã vẽ của \(y = f(x)\) ta có

\(f({x^2} – 2x) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x = 1\\{x^2} – 2x =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \pm \sqrt 2 \\x = 1\end{array} \right.\). Xét trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) ta được 2 nghiệm \(x = 1;x = 1 + \sqrt 2 \).

\(f({x^2} – 2x) =  – 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x = a\\{x^2} – 2x = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x – a = 0\\{x^2} – 2x – b = 0\end{array} \right.\) với \(\left\{ \begin{array}{l} – 2 < a <  – 1\\1 < b < 2\end{array} \right.\).

Với phương trình \({x^2} – 2x – a = 0\) có \(\Delta ‘ = 1 + a < 0\) do vậy phương trình này vô nghiệm.

Với phương trình \({x^2} – 2x – b = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt {b + 1} \\x = 1 – \sqrt {b + 1} \end{array} \right.\) ta có nghiệm \(x = 1 – \sqrt {b + 1}  < 0\) còn \(0 < 1 + \sqrt {b + 1}  < 4\), như vậy ở trường hợp này phương trình có 1 nghiệm.

Kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(t = {x^2} – 2x\), ta có \(t’ = 2x – 2\), từ đồ thị của hàm số \(f(x)\) đã cho ta có \(f(0) = 1\), \(f(1) = f( – 1) = 2\) và \(f(8) = m <  – 2\).

Ta có bảng ghép trục như sau:

Qua bảng ta thấy phương trình \(\left| {f(t)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {f({x^2} – 2x)} \right| = 2\) có 3 nghiệm phân biệt.

=======