PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP
Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ bên.Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) của phương trình \(\left| {f({x^2} – 2x)} \right| = 2\) là
A. \(4\).
B. \(3\).
C. \(5\).
D. \(6\).
Lời giải
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Chọn B
Ta có phương trình \(\left| {f({x^2} – 2x)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f({x^2} – 2x) = 2\\f({x^2} – 2x) = – 2\end{array} \right.\).
Từ đồ thị hàm số đã vẽ của \(y = f(x)\) ta có
\(f({x^2} – 2x) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x = 1\\{x^2} – 2x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \pm \sqrt 2 \\x = 1\end{array} \right.\). Xét trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) ta được 2 nghiệm \(x = 1;x = 1 + \sqrt 2 \).
\(f({x^2} – 2x) = – 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x = a\\{x^2} – 2x = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x – a = 0\\{x^2} – 2x – b = 0\end{array} \right.\) với \(\left\{ \begin{array}{l} – 2 < a < – 1\\1 < b < 2\end{array} \right.\).
Với phương trình \({x^2} – 2x – a = 0\) có \(\Delta ‘ = 1 + a < 0\) do vậy phương trình này vô nghiệm.
Với phương trình \({x^2} – 2x – b = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt {b + 1} \\x = 1 – \sqrt {b + 1} \end{array} \right.\) ta có nghiệm \(x = 1 – \sqrt {b + 1} < 0\) còn \(0 < 1 + \sqrt {b + 1} < 4\), như vậy ở trường hợp này phương trình có 1 nghiệm.
Kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt \(t = {x^2} – 2x\), ta có \(t’ = 2x – 2\), từ đồ thị của hàm số \(f(x)\) đã cho ta có \(f(0) = 1\), \(f(1) = f( – 1) = 2\) và \(f(8) = m < – 2\).
Ta có bảng ghép trục như sau:
Qua bảng ta thấy phương trình \(\left| {f(t)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {f({x^2} – 2x)} \right| = 2\) có 3 nghiệm phân biệt.
=======
Trả lời