Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. 

Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\). Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\). Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\) là

A. 2.

B. 8.

C. 10.

D. 6.

Lời giải

Chọn 

B.

Cách 1. PP tự luận truyền thống

\(g’\left( x \right) = 3f’\left( {f\left( x \right)} \right).f’\left( x \right)\) .

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3f’\left( {f\left( x \right)} \right).f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f’\left( {f\left( x \right)} \right) = 0}\\{f’\left( x \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = a}\\{x = 0}\\{x = a}\end{array}} \right.\), \(\left( {2 < a < 3} \right)\).

\(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm đơn phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\) khác \(0\) và \(a\). .

Vì \(2 < a < 3\) nên\(f\left( x \right) = a\) có 3 nghiệm đơn phân biệt \({x_4}\), \({x_5}\), \({x_6}\) khác \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\), \(0\), \(a\).

Suy ra \(g’\left( x \right) = 0\) có 8 nghiệm đơn phân biệt. 

Do đó hàm số \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\) có 8 điểm cực trị.

Cách 2. Phương pháp ghép trục

Đặt \(u = f\left( x \right)\), ta có bảng biến thiên hàm \(f\left( u \right)\):

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) + 4\) bằng với số điểm cực trị của hàm số \(f\left( {f\left( x \right)} \right)\) tức hàm số \(f\left( u \right)\) trên. Từ bảng biến thiên của \(f\left( u \right)\), ta được \(g\left( x \right)\) có 8 cực trị.