Xét các số phức \(z\) và \(w\) thay đổi thỏa mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 3\) và \(\left| {z – w} \right| = 3\sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z + 1 + i} \right| + \left| {w – 2 + 5i} \right|\) bằng

Câu hỏi:
Xét các số phức \(z\) và \(w\) thay đổi thỏa mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 3\) và \(\left| {z – w} \right| = 3\sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z + 1 + i} \right| + \left| {w – 2 + 5i} \right|\) bằng

A. \(5 – 3\sqrt 2 \).

B. \(\sqrt {17} \).

C. \(\sqrt {29} – \sqrt 2 \).

D. \(5\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1:

Ta có \(\left| z \right| = \left| w \right| = 3 \Rightarrow \) \(\left| {\frac{z}{w}} \right| = 1\) và \(\left| {z – w} \right| = 3\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \left| {\frac{z}{w} – 1} \right| = \sqrt 2 \) .

Đặt \(\frac{z}{w} = x + yi\) (\(x,y \in \mathbb{R}\)). Từ và ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\x = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = – 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \frac{z}{w} = i\) \( \Rightarrow z = iw\).

Khi đó \(P = \left| {iw + 1 + i} \right| + \left| {w – 2 + 5i} \right|\) \( = \left| i \right|.\left| {w + 1 – i} \right| + \left| {w – 2 + 5i} \right|\) \( = \left| {w + 1 – i} \right| + \left| { – w + 2 – 5i} \right|\).

Áp dụng BĐT mô đun: \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| \ge \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) ta được:

\(P \ge \left| {w + 1 – i – w + 2 – 5i} \right| = \left| {3 – 6i} \right|\) \( = 3\sqrt 5 \).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = – 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \frac{z}{w} = – i\) \( \Rightarrow z = – iw\).

Khi đó \(P = \left| { – iw + 1 + i} \right| + \left| {w – 2 + 5i} \right|\) \( = \left| { – w + 1 – i} \right| + \left| {w – 2 + 5i} \right|\)\( \ge \left| { – w + 1 – i + w – 2 + 5i} \right| = \left| { – 1 + 4i} \right|\) \( = \sqrt {17} \).

Vậy \(\min P = \sqrt {17} \).

Cách 2:

Gọi \(A\), \(B\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(z\) và \(w\).

Gọi \(M\left( { – 1;\, – 1} \right)\), \(N\left( {2;\, – 5} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \( – 1 – i\), \(2 – 5i\).

Từ giả thiết suy ra \(AB = 3\sqrt 2 \), ta thấy \(A,\,B\) luôn thay đổi trên đường tròn tâm \(O\) bán kính bằng \(3\) và vuông tại \(O\).

Khi đó \(P = AM + BN\).

+TH1: Phép quay \({Q_{\left( {O, – {{90}^0}} \right)}}\) biến điểm \(M\left( { – 1;\, – 1} \right)\) thành điểm \(M’\left( { – 1;\,1} \right)\), biến điểm\(A\) thành điểm \(B\). Khi đó \(P = AM + BN\)\( = BM’ + BN \ge M’N = 5\sqrt 2 \).

+TH2: Phép quay \({Q_{\left( {O,{{90}^0}} \right)}}\) biến điểm \(M\left( { – 1;\, – 1} \right)\) thành điểm \(M”\left( {1;\, – 1} \right)\), biến điểm\(A\) thành điểm \(B\). Khi đó \(P = AM + BN\)\( = BM” + BN \ge M”N = \sqrt {17} \). Dấu xảy ra khi \(B\) là giao điểm của \(M”N\) và đường tròn tâm \(O\) bán kính bằng \(3\).

Vậy \({P_{\min }} = \sqrt {17} \).

=======