Câu hỏi:
(THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Có tất cả bao nhiêu số phức \(w\) thỏa mãn điều kiện \(2w\overline w = 1\) và \(\frac{w}{{\overline {{w^2}} }}\) là số thuần ảo?
A. \(4\).
B. \(6\).
C. \(3\).
D. \(2\).
Lời giải:
Chọn B
Gọi số phức \(w = x + yi,\forall x,y \in \mathbb{R}\).
Điều kiện: \(\overline {{w^2}} \ne 0 \Leftrightarrow w \ne 0\).
Từ giả thiết \(2w\overline w = 1 \Leftrightarrow {\left| w \right|^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{1}{2}\left( * \right)\).
Mặt khác: \(\frac{w}{{\overline {{w^2}} }} = \frac{{{w^3}}}{{\overline {{w^2}} .{w^2}}} = \frac{{{{\left( {x + yi} \right)}^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}} = \frac{{{x^3} – 3x{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}} + \frac{{3{x^2}y – {y^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}i\).
Đề \(\frac{w}{{\overline {{w^2}} }}\) là số thuần ảo khi và chỉ khi \(\frac{{{x^3} – 3x{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x^3} – 3x{y^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{{x^2} = 3{y^2}}\end{array}} \right.\).
Với \(x = 0 \Rightarrow y = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), suy ra tồn tại hai số phứ
C.
Với \({x^2} = 3{y^2}\) thay vào (*) ta được: \(4{y^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}\), với mỗi giá trị của \(y\) tồn tại hai giá trị của \(x\), do đó có \(4\) cặp \(\left( {x;y} \right)\).
Vậy có tất cả \(6\) số phức \(w\) thỏa mãn bài toán.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời