Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\) và \(\left( {{\rm{w}} – 3 + 4i} \right)\left( {\overline {\rm{w}} + 3 + 4i} \right)\) là số thuần ảo. Khi \(\left| {z – w} \right| = 3\sqrt 2 \), giá trị của \(\left| {2z + w} \right|\) bằng
A. \(\sqrt {41} \).
B. \(\sqrt {47} \).
C. \(\sqrt {63} \).
D. \(4\sqrt 3 \).
Lời giải
• Đặt \(w = a + bi,\left( {a,b\; \in \mathbb{R}} \right)\), \(P = \left| {2z + w} \right|\)
• Ta có:
\(\left( {{\rm{w}} – 3 + 4i} \right)\left( {\overline {\rm{w}} + 3 + 4i} \right) = \left( {a – 3 + \left( {b + 4} \right)i} \right)\left( {a + 3 + \left( { – b + 4} \right)i} \right)\)
\(\left( {{\rm{w}} – 3 + 4i} \right)\left( {\overline {\rm{w}} + 3 + 4i} \right)\)là số thuần ảo \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 25 \Rightarrow \left| w \right| = 5.\)
• \(\left| {z – w} \right| = 3\sqrt 2 \Rightarrow 18 = {\left| {z – w} \right|^2} = \left( {z – w} \right)\left( {\bar z – \bar w} \right)\) \( \Rightarrow 18 = {\left| z \right|^2} – \left( {z\bar w + \bar zw} \right) + {\left| w \right|^2}\)
\( \Leftrightarrow 18 = 4 – \left( {z\bar w + \bar zw} \right) + 25\) \( \Rightarrow z\bar w + \bar zw = 11\)
• \({P^2} = {\left| {2z + w} \right|^2} = \left( {2z + w} \right)\left( {\;2\bar z + \bar w} \right)\) \( = 4{\left| z \right|^2} + 2\left( {z\bar w + \bar zw} \right) + {\left| w \right|^2} = 16 + 22 + 25 = 63\)
\( \Rightarrow \) \(P = \sqrt {63} \).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời