Giả sử \({z_1},{z_2}\)là hai số phức thỏa mãn \(\left( {z + 6} \right)\left( {8 – i\overline z } \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6\). Tính giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|\)
A. \(15 + 3\sqrt {17} \).
B. \(5 + \sqrt {17} \).
C. \(15 – 3\sqrt {17} \).
D. \(20 + 3\sqrt {15} \).
Lời giải
Giả sử \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Gọi \(A,B\) lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức \({z_1},{z_2}\)
Ta có: \(\left( {z + 6} \right)\left( {8 – i\overline z } \right) = \left( {x + 6 + yi} \right)\left( {8 – y – xi} \right) = \left( {x + 6} \right)\left( {8 – y} \right) + xy + \left[ { – x(x + 6) + (8 – y)y} \right]i\)
Theo giả thiết \(\left( {z + 6} \right)\left( {8 – i\overline z } \right)\) là số thực nên ta có: \( – {x^2} – {y^2} – 6x + 8y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x – 8y = 0\).
Suy ra \(A,B\) thuộc đường tròn tâm \(I( – 3;4)\) bán kính \(R = 5\)
\(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6 \Leftrightarrow AB = 6\)
Gọi \(M\) là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OM} + 2\left( {\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OM} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow {OM} \)
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow IH \bot AB\) và \(IH = \sqrt {{R^2} – H{B^2}} = \sqrt {{5^2} – {3^2}} = 4\)
Trong tam giác vuông \(IHM\) ta có: \(I{M^2} = I{H^2} + H{M^2} = {4^2} + {1^2} = 17 \Rightarrow IM = \sqrt {17} \)
Suy ra \(M\) thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R’ = \sqrt {17} \)
Ta có: \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {3\overrightarrow {OM} } \right| = 3OM\) đạt giá trị lớn nhất khi \(OM\)đạt giá trị lớn nhất.
\(O{M_{\max }} = OI + R’ = 5 + \sqrt {17} \)
Vậy \({\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|_{\max }} = 3O{M_{\max }} = 15 + 3\sqrt {17} \).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời