Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức \({\left| {z + \overline z } \right|^2} + 2{\left| {z – \overline z } \right|^2} = 16\) và \({z_1} + 2{z_2} = 3\). Tính giá trị của biểu thức \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\)
A. \(\frac{{3\sqrt {66} }}{8}\).
B. \(\frac{{\sqrt {33} }}{2}\).
C. \(\frac{{\sqrt {66} }}{4}\).
D. \(\frac{{\sqrt {77} }}{8}\).
Lời giải
Gọi \({z_2} = x + yi,\,\,x,y \in R\) ta có
\({\left| {z + \overline z } \right|^2} + 2{\left| {z – \overline z } \right|^2} = 16 \Rightarrow 4{x^2} + 8{y^2} = 16 \Rightarrow {x^2} + 2{y^2} = 4\). (1)
Gọi \({z_1} = a + bi,\,\,a,b \in R\) ta cũng có \({a^2} + 2{b^2} = 4\) (2)
\({z_1} + 2{z_2} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2x = 3\\b + 2y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 – 2x\\b = – 2y\end{array} \right.\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2{y^2} = 4\\{\left( {3 – 2x} \right)^2} + 2{\left( { – 2y} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{4}\\{y^2} = \frac{{15}}{{32}}\end{array} \right.\)
\(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2}} = 3\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}} = \frac{{3\sqrt {66} }}{8}\).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời