[ Mức độ 3] Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thoả mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z – 2 + i} \right| = 6\) và \(\left| {z + 1 + mi} \right| = \left| {z + m + 2i} \right|\) (trong đó \(m\) là số thực) sao cho \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) lớn nhất. Khi đó giá trị của \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) bằng
A. \(\sqrt 2 \).
B. \(2\sqrt 5 \).
C. \(6\).
D. \(3\sqrt 2 \).
Lời giải
Gọi \(M,N\) lần lượt là điểm biểu biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\).
Do hai số phức \({z_1},{z_2}\) thoả mãn điều kiện \(\left| {z – 2 + i} \right| = 6\) nên \(M,N\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; – 1} \right)\) và bán kính \(R = 6\).
Gọi số phức \(z = x + yi\) \(\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Mà \(\left| {z + 1 + mi} \right| = \left| {z + m + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + m} \right)i} \right| = \left| {\left( {x + m} \right) + \left( {y + 2} \right)i} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + m} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + m} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left( {2 – 2m} \right)x + \left( {2m – 4} \right)y – 3 = 0\end{array}\)
Suy ra \(M,N\) thuộc đường thẳng \(d:\left( {2 – 2m} \right)x + \left( {2m – 4} \right)y – 3 = 0\).
Do đó \(M,N\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\).
Ta có \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MN\) nên khi \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) lớn nhất thì \(MN\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\).
Khi đó \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OI} } \right| = \)\(2\sqrt 5 \).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời