Giả sử \({z_1},\,{z_2}\) là hai trong các số phức\(z\)thỏa mãn \(\left( {z – 6} \right)\left( {8 + \bar z.i} \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 3\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 4{z_2}} \right|\)bằng
A. \(25 – \sqrt {213} \).
B. \(20 – \sqrt {553} \).
C. \(25 – \sqrt {489} \).
D. \(\sqrt {553} – 25\).
Lời giải
Chọn C
+ Đặt \(z = x + yi\,\,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Vì \(\left[ {\left( {x – 6} \right) + yi} \right]\left[ {\left( {y + 8} \right) + xi} \right]\) là số thực nên \(x\left( {x – 6} \right) + y\left( {y + 8} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25\)\( \Leftrightarrow \left| {z – 3 + 4i} \right| = 5\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1} – 3 + 4i} \right| = 5\\\left| {{z_2} – 3 + 4i} \right| = 5\end{array} \right.\).
+Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{w_1} = {z_1} – 3 + 4i\\{w_2} = {z_2} – 3 + 4i\end{array} \right.\), khi đó: \(\left| {{w_1}} \right| = \left| {{w_2}} \right| = 5\)
Vì \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 3\)\( \Rightarrow \left| {{w_1} – {w_2}} \right| = 3\)\( \Rightarrow 9 = \left( {{w_1} – {w_2}} \right)\left( {\overline {{w_1}} – \overline {{w_2}} } \right) \Leftrightarrow 9 = {\left| {{w_1}} \right|^2} + {\left| {{w_2}} \right|^2} – {w_1}{\bar w_2} – {\bar w_1}{w_2}\)\( \Rightarrow {w_1}{\bar w_2} + {\bar w_1}{w_2} = 16\);
\(\left| {{w_1} + 4{w_2}} \right| = \sqrt {{{\left| {{w_1}} \right|}^2} + 16{{\left| {{w_2}} \right|}^2} + 4\left( {{w_1}{{\bar w}_2} + {{\bar w}_1}{w_2}} \right)} = \sqrt {489} \).
Suy ra\(\left| {{z_1} + 4{z_2} – 15 + 20i} \right| = \sqrt {489} \).
+\(\left| {{z_1} + 4{z_2}} \right| = \left| {\left( {{z_1} + 4{z_2} – 15 + 20i} \right) + \left( {15 – 20i} \right)} \right|\)\( \ge \left| {\left| {{z_1} + 4{z_2} – 15 + 20i} \right| – \left| {15 – 20i} \right|} \right| = – \sqrt {489} + 25\).
Đẳng thức xảy ra khi\(\left\{ \begin{array}{l}\exists k \in \mathbb{R},\,k \le 0:{z_1} + 4{z_2} – 15 + 20i = k\left( {15 – 20i} \right)\\\left| {{z_1} + 4{z_2} – 15 + 20i} \right| = \sqrt {489} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = – \frac{{\sqrt {489} }}{{25}}\\{z_1} + 4{z_2} = \left( {1 – \frac{{\sqrt {489} }}{{25}}} \right)\left( {15 – 20i} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(\min \left| {{z_1} + 4{z_2}} \right| = 25 – \sqrt {489} \).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời