[ Mức độ 3 ] Cho hai số phức \({z_1}\), \({z_2}\) thỏa mãn các điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} – 2{z_2}} \right| = 4\). Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(\omega = 2{z_1} + {z_2}\) là đường tròn có bán kính bằng
A. \(\sqrt 6 \).
B. \(2\sqrt 6 \).
C. \(4\).
D. \(8\).
Lời giải
Gọi \(M,N,P\) lần lượt là điểm biểu diễn của ba số phức \({z_1}\), \({z_2},\omega \) trong mặt phẳng phức.
Suy ra \(\overrightarrow {OP} = 2\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} \) biểu diễn \(\omega \).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\\\left| {{z_1} – 2{z_2}} \right| = 4\end{array} \right.\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \left| {\overrightarrow {ON} } \right| = {2^{}}(1)\\\left| {\overrightarrow {OM} – 2\overrightarrow {ON} } \right| = {4^{}}(2)\end{array} \right.\).
Ta có:\((2) \Leftrightarrow {\overrightarrow {OM} ^2} – 4\overrightarrow {OM} \overrightarrow {ON} + 4{\overrightarrow {ON} ^2} = 16 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {OM} \overrightarrow {ON} = 4\)(vì từ (1) có \({\overrightarrow {OM} ^2} = {\overrightarrow {ON} ^2} = 4\)).
Suy ra \({\left| {\overrightarrow {OP} } \right|^2} = {\overrightarrow {OP} ^2} = {\left( {2\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {OM} ^2} + 4\overrightarrow {OM} \overrightarrow {ON} + {\overrightarrow {ON} ^2} = 24.\)
Từ đó \(OP = 2\sqrt 6 \).
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(\omega = 2{z_1} + {z_2}\) là đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(2\sqrt 6 \).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời