[ Mức độ 3] Cho các số phức \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2} + 2i} \right| = 1\),\(\left| {3{z_1} – {z_2}} \right| = 5\). Khi \(\left| {4{z_2} + 1 + 6i} \right|\)đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\) bằng
A. \(6\).
B. \(2\).
C. \(4\).
D. \(5\).
Lời giải
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {z_1} + {z_2}\\v = 3{z_1} – {z_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{{u + v}}{4}\\{z_2} = \frac{{3u – v}}{4}\end{array} \right.\)và\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {u + 2i} \right| = 1\\\left| v \right| = 5\end{array} \right.\)
Đặt \(P = \left| {4{z_2} + 1 + 6i} \right| = \left| {3u – v + 1 + 6i} \right| = \left| {3\left( {u + 2i} \right) – \left( {v – 1} \right)} \right|\)
\(P \ge \left| {3\left| {u + 2i} \right| – \left| {v – 1} \right|} \right| = \left| {3 – \left| {v – 1} \right|} \right|\)
mà \(\left| {\left| v \right| – 1} \right| \le \left| {v – 1} \right| \le \left| v \right| + 1\) hay \(4 \le \left| {v – 1} \right| \le 6\)
Do đó \(P \ge 1\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi\(\left\{ \begin{array}{l}v = 5\\u + 2i = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 – 2i\\v = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{{3 – i}}{2}\\{z_2} = \frac{{ – 1 – 3i}}{2}\end{array} \right.\)
\(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \left| { – 5i} \right| = 5\).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời