Cho số phức \(z\) thỏa \(\left| {3z – i} \right| = \left| {3 + iz} \right|\). Gọi \(w\) số phức thỏa mãn sao \(\left| w \right| = 2\) và\(\left| {z – w} \right| = \sqrt 7 \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {2z – 3w} \right|\).
A. \(P = \sqrt {13} \).
B. \(P = 2\sqrt {13} \).
C. \(P = \frac{{\sqrt {13} }}{2}\).
D. \(P = \sqrt {\frac{{13}}{2}} \).
Lời giải
Chọn B
Đặt \(z = x + yi\) với \(x\), \(y \in \mathbb{R}\).
Ta có: \(\begin{array}{l}\left| {3z – i} \right| = \left| {3 + iz} \right| \Leftrightarrow \left| {3x + (3y – 1)i} \right| = \left| {3 – y + ix} \right| \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + {{(3y – 1)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{(3 – y)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\,\,(1)\end{array}\).
Đặt \(w = a + bi\) với a, \({\rm{b}} \in \mathbb{R}\).
\(\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\,\,\,(2)\)
\(\begin{array}{l}\left| {z – w} \right| = \sqrt 7 \Leftrightarrow \left| {(x – a) + (y – b)i} \right| = \sqrt 7 \Leftrightarrow {(x – a)^2} + {(y – b)^2} = 7\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) – 2(ax + by) = 7\,\,\,(3)\end{array}\)
Từ (1), (2), (3) ta có \(ax + by = – 1\)
\(\begin{array}{l}P = \left| {2z – 3w} \right| = \left| {(2x – 3a) + (2y – 3b)i} \right| = \sqrt {{{(2x – 3a)}^2} + {{(2y – 3b)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {4({x^2} + {y^2}) + 9({a^2} + {b^2}) – 12(ax + by)} = 2\sqrt {13} \end{array}\).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Hải viết
Trình bày vãi cả l tht dẹp luôn web ik
admin viết
Tôi thấy bài toán hiện đầy đủ mà.