Cho các số thực \(b,\,c\) sao cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1};\,{z_2}\,\)có phần thực dương và thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 2 + 5i\,} \right| = \sqrt {13} \); \(\left( {{z_1}\, + 2i} \right)\left( {{z_2}\, – 2} \right)\) là số thuần ảo. Khi đó \(b + c\) bằng:
A. \(16\).
B. \(24\).
C. \( – 16\).
D. \(4\).
Lời giải
Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực \(x;\,y\) thì
\(\left| {{z_1} – 2 + 5i\,} \right| = \left| {\left( {x – 2} \right) + 5i\,} \right|\)\( = \sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + 25\,} > \sqrt {13} \) mâu thuẫn với giả thiết.
Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực, khi đó với
\({z_1} = x + yi\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow \,\,{z_2} = \overline {{z_1}} = x – yi\).
Khi đó: \(\left| {{z_1} – 2 + 5i\,} \right| = \sqrt {13} \,\, \Leftrightarrow \,\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 13\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Và:
\(\left( {{z_1}\, + 2i} \right)\left( {{z_2}\, – 4} \right) = \left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right].\left[ {\left( {x – 4} \right) – yi} \right]\)\( = x.\left( {x – 4} \right) + y.\left( {y + 2} \right) + \left[ {\left( {x – 4} \right).\left( {y + 2} \right) – xy} \right].i\) là số phức thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng \(0\)tức là:
\(x.\left( {x – 4} \right) + y.\left( {y + 2} \right) = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^2} + {y^2} – 4x + 2y = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Giải hệ gồm \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 13\\{x^2} + {y^2} – 4x + 2y = 0\,\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = – 2\\{x^2} + {y^2} – 2x + 2y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 0{\rm{ }}\left( l \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = – 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\y = – 2\,\end{array} \right.\).
\(\, \Rightarrow \,\,{z_1} = 4 – 2i;\,{z_2} = 4 + 2i\).
Vì vậy theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + \,{z_2} = – b = \left( {4 – 2i\,} \right) + \left( {4 + 2i} \right) = 4\\{z_1}.\,{z_2} = c = \left( {4 – 2i\,} \right).\left( {4 + 2i} \right) = 20\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = – 4\\c = 20\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \,\,b + c = – 4 + 20 = 16\).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời