[ Mức độ 3 ] Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {z – 1 + 2i} \right| = 1\) và \(\left( {{\rm{w}} – 1 + 2i} \right)\left( {\overline {\rm{w}} – 1 – 2i} \right) = 4\). Khi \(\left| {z – w} \right| = 2\), giá trị của \(P = \left| {z + w – 2 + 4i} \right|\) bằng
A. \(2\sqrt 3 \).
B. \(\sqrt 5 \).
C. \(\sqrt 6 \).
D. \(2\sqrt 3 \).
Lời giải
• Đặt \(u = z – 1 + 2i\) suy ra \(\left| {z – 1 + 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| u \right| = 1\)
Đặt \(v = {\rm{w}} – 1 + 2i\) suy ra \(\left( {{\rm{w}} – 1 + 2i} \right)\left( {\overline {\rm{w}} – 1 – 2i} \right) = 4 \Leftrightarrow v.\overline v = 4 \Leftrightarrow {\left| v \right|^2} = 4 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2\).
• \(\left| {z – w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\left( {z – 1 + 2i} \right) – \left( {w – 1 + 2i} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {u – v} \right| = 2\).
\( \Rightarrow 4 = {\left| {u – v} \right|^2} = \left( {u – v} \right)\overline {\left( {u – v} \right)} = {\left| u \right|^2} – \left( {u\overline v + \overline u v} \right) + {\left| v \right|^2}\) \( \Rightarrow u\overline v + \overline u v = 1\)
•\({P^2} = {\left| {z + w – 2 + 4i} \right|^2}\)\( = {\left| {\left( {z – 1 + 2i} \right) + \left( {w – 1 + 2i} \right)} \right|^2} = {\left| {u + v} \right|^2}\)\( = {\left| u \right|^2} + {\left| v \right|^2} + u\overline v + \overline u v = 6\).
Vậy \(P = \left| {z + w – 2 + 4i} \right| = \sqrt 6 \).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời