Câu hỏi:
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Xét các số phức \(z = a + bi\,\,(a,b \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(|z – 3 + 2i| = \sqrt 5 \). Tính \(P = a – b\) khi\(|z – 3 – 3i| + |z – 7 – i|\) đạt giá trị lớn nhất.
A. \(8\)
B. \(6\)
C. \(4\)
D. \(10\)
Lời giải:
Chọn B
⮚ Ta có \(|z – 3 + 2i| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a – 3}}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{b + 2}}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = 1\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a – 3}}{{\sqrt 5 }} = \sin t \Rightarrow a = \sqrt 5 \sin t + 3\\\frac{{b + 2}}{{\sqrt 5 }} = \cos t \Rightarrow b = \sqrt 5 \cos t – 2\end{array} \right.\left( * \right)\)
⮚ Đặt \(T = |z – 3 – 3i| + |z – 7 – i| = \sqrt {{{\left( {a – 3} \right)}^2} + {{\left( {b – 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {a – 7} \right)}^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2}} \)
Thay \(\left( * \right)\) vào ta có:
\(\begin{array}{l}T = \sqrt {5{{\sin }^2}t + {{\left( {\sqrt 5 \cos t – 5} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 \sin t – 4} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 5 \cos t – 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\, = \sqrt {30 – 10\sqrt 5 \cos t} + \sqrt {30 – 8\sqrt 5 \sin t – 6\sqrt 5 \cos t} \\\,\,\,\, \le \sqrt {2\left( {60 – 8\sqrt 5 \sin t – 16\sqrt 5 \cos t} \right)} = \sqrt {2\left[ {60 – 8\sqrt 5 \left( {\sin t + 2\cos t} \right)} \right]} \end{array}\)
Mà \( – \sqrt 5 \le \sin t + 2\cos t \le \sqrt 5 \Rightarrow T \le \sqrt {2\left( {60 – 8\sqrt 5 .\left( { – \sqrt 5 } \right)} \right)} = 10\sqrt 2 \)
Suy ra \(T_{max}^{} = 10\sqrt 2 \) khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}30 – 10\sqrt 5 \cos t = 30 – 8\sqrt 5 \sin t – 6\sqrt 5 \cos t\\\sin t + 2\cos t = – \sqrt 5 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sin t – 2\cos t = 0\\\sin t + 2\cos t = – \sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos t = \frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 }}\\\sin t = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 4\end{array} \right.\).
Vậy \(P = a – b = 6\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời