Câu hỏi:
(Chuyên Vinh – 2022) Biết phương trình \({z^2} + mz + {m^2} – 2 = 0\) ( \(m\) là tham số thực) có hai nghiệm phức \({z_1},{z_2}\). Gọi \(A,B,C\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) và \({z_0} = i\). Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để diện tích tam giác \(ABC\) bằng 1 ?
A. \(2.\)
B. 3.
C. \(4.\)
D. 6.
Lời giải:
Chọn C
Ta có: \(\Delta = {m^2} – 4\left( {{m^2} – 2} \right) = – 3{m^2} + 8\)
TH1: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow – 3{m^2} + 8 > 0 \Leftrightarrow \frac{{ – 2\sqrt 6 }}{3} < m < \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\). Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là \({z_1},{z_2}\).
Vì \(A,B \in Ox\) nên \(AB = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{z_1} – {z_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} – 4{z_1}{z_2}} = \sqrt { – 3{m^2} + 8} \).
Mặc khác, ta có \(C(0;1) \Rightarrow d(C;AB) = 1\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot d(C;AB) = \frac{{\sqrt { – 3{m^2} + 8} }}{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}(n)\)\(\)
TH2: \(\Delta < 0 \Leftrightarrow – 3{m^2} + 8 < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\\{m < \frac{{ – 2\sqrt 6 }}{3}}\end{array}} \right.\). Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là \({z_{1,2}} = \frac{{ – m + i\sqrt {|\Delta |} }}{2}\).
Ta có: \(AB = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = |i\sqrt {|\Delta |} | = \sqrt {\left| { – 3{m^2} + 8} \right|} = \sqrt {3{m^2} – 8} \) và \(C(0;1)\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(x + \frac{m}{2} = 0\) nên \(d(C;AB) = \frac{{|m|}}{2}\).
Do đó, \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot d(C;AB) = \frac{{|m|\sqrt {3{m^2} – 8} }}{4} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \pm 2}\\{m = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}i(l)}\end{array}} \right.\)
Vậy có 4 giá trị thực của tham số \(m\) thỏa mãn đề bài.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời