(Sở Bạc Liêu 2022) Cho các số phức \(z\), \(w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\), \(\left| {w – 3 + 2i} \right| = 1\) khi đó \(\left| {{z^2} – 2zw – 4} \right|\) đạt giá trị lớn nhất bằng
A. \(16\).
B. \(24\).
C. \(4 + 4\sqrt {13} \).
D. \(20\).
Lời giải:
Chọn B
Ta có \(T = \left| {{z^2} – 2zw – 4} \right| = \left| {{z^2} – 2zw – {{\left| z \right|}^2}} \right| = \left| {{z^2} – 2zw – z.\bar z} \right| = \left| z \right|.\left| {z – \bar z – 2w} \right| = 2\left| {z – \bar z – 2w} \right|\)
Gọi \(z = x + yi\)\( \Rightarrow \)\(z – \bar z = 2yi\).
Vì \(\left| z \right| = 2\) nên \( – 4 \le 2y \le 4\).
Gọi \(w’ = x’ + y’i = 2w\) \( \Rightarrow \left| {2w – 6 + 4i} \right| = 2 \Rightarrow \left| {w’ – 6 + 4i} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x’ – 6} \right)^2} + {\left( {y’ + 4} \right)^2} = 4\).
Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của \(z – \bar z\)\( \Rightarrow A\) thuộc trục \(Oy\) với \( – 4 \le {y_A} \le 4\).
Gọi \(B\) là điểm biểu diễn của \(2w\) \( \Rightarrow B\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( {6; – 4} \right)\); bán kính \(R = 2\).
Khi đó \(T = 2AB\).
Ta có hình vẽ:
Ta có \({T_{\max }} = 2A{B_{\max }} = 2\left( {IA + R} \right) = 24\) với \(A\left( {0;4} \right)\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời