Câu hỏi:
(THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn các điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = 2,\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 ,\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 5 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {3{z_1} – {z_2} – 10 + 5i} \right| + 2\) bằng
A.\(10\sqrt 3 – 2\sqrt 5 \).
B. \(3\sqrt 5 – 1\).
C. \(2 + 2\sqrt 5 \).
D. \(8 – 2\sqrt 5 \).
Lời giải:
Chọn C
Gọi \({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có:
\(\left| {{z_1}} \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\).
\(\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt {{c^2} + {d^2}} = 3 \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 3\).
\(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2} = 5 \Rightarrow ac + bd = – 1\).
Suy ra:
\(\left| {3{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {3a – c} \right)}^2} + {{\left( {3b – d} \right)}^2}} = \sqrt {9\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right) – 6\left( {ac + bd} \right)} = 3\sqrt 5 \).
Khi đó:
\(P = \left| {3{z_1} – {z_2} – 10 + 5i} \right| + 2 = \left| {\left( {3{z_1} – {z_2}} \right) + \left( { – 10 + 5i} \right)} \right| + 2 \ge \left| { – 10 + 5i} \right| – \left| {3{z_1} – {z_2}} \right| + 2 = 2 + 2\sqrt 5 \).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời