(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho \(M,N,P\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {5{z_1} + 9 – 3i} \right| = 5\left| {{{\bar z}_1}} \right|,\left| {{z_2} – 2} \right| = \left| {{z_2} – 3 – i} \right|,\left| {{z_3} + 1} \right| + \left| {{z_3} – 3} \right| = 4\). Khi \(M,N,P\) không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi \(p\) của tam giác \(MNP\) là

Câu hỏi:

A. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{9}\).

B. \(\frac{{6\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\frac{{9\sqrt {10} }}{{10}}\).

D. \(\frac{{5\sqrt {11} }}{{13}}\).

Lời giải:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), gọi \(A( – 1;0),B(0;3),C(3;0)\) và \(M,N,P\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\). Ta có

Tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \({z_1}\) là đường thẳng \(AB\).

Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \({z_2}\) là đường thẳng \(BC\).

\(\left| {{z_3} + 1} \right| + \left| {{z_3} – 3} \right| = 4 \Leftrightarrow PA + PC = AC \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(P\) biểu diễn số phức \({z_3}\) là đoạn \(AC\).

Khi đó \(p = \frac{{MN + NP + PM}}{2}\).

Gọi \({P_1},{P_2}\) lần lượt đối xứng với \(P\) qua \(AB,BC\). Ta có \(MP = M{P_1},NP = N{P_2}\).

Khi đó \(MN + NP + PM = {P_1}M + MN + N{P_2} \ge {P_1}{P_2}\).

Ta thấy \(\widehat {{P_1}B{P_2}} = \widehat {{P_1}BA} + \widehat {ABC} + \widehat {CBP} = \widehat {PBA} + \widehat {ABC} + \widehat {PBC} = 2\widehat {ABC}\).

Theo đinh lí Sin: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} \Rightarrow \sin \widehat {ABC} = \frac{{AC\sin \widehat {BCA}}}{{AB}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \({P_1}{P_2}\), khi đó

\({P_1}{P_2} = 2{P_2}H = 2B{P_2} \cdot \sin \widehat {{P_2}BH} = 2BP \cdot \sin \widehat {ABC} = 2BP \cdot \frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}BP \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{5}BO = \frac{{12\sqrt 5 }}{5}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(p\) là \(\frac{{6\sqrt 5 }}{5}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức