Câu hỏi:
(Chuyên Vinh – 2022) Xét các số phức \(z\) và \(w\) thỏa mãn \(|z| = |w| = 1\) và \(|z + w| = \sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = |zw + 2i(z + w) – 4|\) bằng
A. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
B. \(\frac{{1 + 5\sqrt 2 }}{4}\).
C. \(5 – 2\sqrt 2 \).
D. \(\sqrt 5 \).
Lời giải:
Chọn A
Gọi \(A,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z,w\), khi đó với \(|z + w| = \sqrt 2 \) ta luôn có \(\Delta OAB\) là tam giác vuông tại \(O\) với \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0\), khi đó ta luôn có \(z \cdot \bar w\) là số thuần ảo tức \(z \cdot \bar w = ki(k \in \mathbb{R})\)
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P = |zw + 2i(z + w) – 4| = \left| {ki\frac{w}{w} + 2i\left( {\frac{{ki}}{{\bar w}} + w} \right) – 4} \right| = \left| {ki{w^2} + 2i(kiw + w) – 4} \right| = \left| {ki{w^2} – 2kw + 2iw – 4} \right|}\\{|z + w| = \left| {\frac{{ki}}{{\bar w}} + w} \right| = |w(ki + 1)| = |w|\sqrt {{k^2} + 1} = \sqrt 2 \Rightarrow k = 1}\end{array}} \right.\)
Đặt \(w = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\) khi đó ta có: \(P = \left| {{w^2} + (2i – 2)w – 4} \right| = \left| {{w^2} + (2 + 2i)w + 4i} \right| = \left| {{{(w + 1 + i)}^2} + 2i} \right|\)
Đặt \(u = w + 1 + i \Rightarrow w = u – 1 – i \Rightarrow |w| = |u – 1 – i| = 1\), khi đó ta suy ra (đặt trước \({z_0} = – 1 – i\))
\(\begin{array}{l}{P^2} = {\left| {{u^2} + 2i} \right|^2} = {\left| {{u^2} + z_0^2} \right|^2} = \left( {{u^2} + {z_0}^2} \right)\left( {{{\bar u}^2} + \bar z_0^2} \right) = |u{|^4} + {\left| {{z_0}} \right|^4} + {\left( {u \cdot \overline {{z_0}} + {z_0} \cdot \bar u} \right)^2} – 2{\left| {u \cdot {z_0}} \right|^2}\\ = |u{|^4} – 4|u{|^2} + 4 + {\left( {u \cdot \overline {{z_0}} + {z_0} \cdot \bar u} \right)^2}\end{array}\)
Mà \(\left( {u + {z_o}} \right)\left( {\bar u + \overline {{z_o}} } \right) = {\left| {u + {z_0}} \right|^2} = 1 \Rightarrow u \cdot \overline {{z_o}} + {z_o} \cdot \bar u = 1 – |u{|^2} – {\left| {{z_o}} \right|^2} = – |u{|^2} – 1\)
Suy ra \(\frac{{{9^2}}}{2} = |u{|^4} – 4|u{|^2} + 4 + {\left( {|u{|^2} + 1} \right)^2} = 2|u{|^4} – 2|u{|^2} + 5 = 2{\left( {|u{|^2} – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2} \ge \frac{9}{2} \Rightarrow P \ge \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời