Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $\left|z_{1}-3 i+5\right|=2$ và $\left|i z_{2}-1+2 i\right|=4$. Giá trị lớn nhất cúa biểu thức $T=\left|2 i z_{1}+3 z_{2}\right|$ bằng
A. $\sqrt{313}+16$.
B. $\sqrt{313}+8$.
C. $\sqrt{219}+16$.
D. $\sqrt{219}+8$.
LỜI GIẢI
Ta có $\left|z_{1}-3 i+5\right|=2 \Leftrightarrow\left|2 i z_{1}+6+10 i\right|=4(1)$
$$
\left|i z_{2}-1+2 i\right|=4 \Leftrightarrow\left|\left(-3 z_{2}\right)-6-3 i\right|=12(2)
$$
Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức $2 i z_{1}, B$ là điểm biểu diễn số phức $-3 z_{2}$.
Từ (1) và (2) suy ra điểm $A$ nằm trên đường tròn tâm $I_{1}(-6 ;-10)$ và bán kính $R_{1}=4$; điểm $B$ nằm trên đường tròn tâm $I_{2}(6 ; 3)$ và bán kính $R_{2}=12$.
Ta có $T=\left|2 i z_{1}+3 z_{2}\right|=A B \leq I_{1} I_{2}+R_{1}+R_{2}=\sqrt{12^{2}+13^{2}}+4+12=\sqrt{313}+16$.
Vậy $\max T=\sqrt{313}+16$
Trả lời