(Sở Bắc Giang 2022) Giả sử \({z_1};{z_2}\) là hai trong các số phức \(z\) thỏa mãn \((z – 6)(8 – i.\bar z)\) là số thự
C. Biết rằng \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\) bằng
A. \( – 5 + \sqrt {73} \).
B. \(5 – \sqrt {21} \).
C. \(20 – 2\sqrt {73} \).
D. \(20 – 4\sqrt {21} \).
Lời giải:
Đặt \(z = x + yi\) với \(x;y \in \mathbb{R}\). Gọi \(A;B\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1};{z_2}\).
Ta có: \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6 \Rightarrow AB = 6\).
\(\begin{array}{l}{\rm{V\`a }}(z – 6)(8 – i\overline z ) = (x + yi – 6)(8 – xi – y) = [(x – 6) + yi][(8 – y) – xi]\\ = [(x – 6)(8 – y) + xy] + [(8 – y)y – (x – 6)x]i = 8x + 6y – 48 – \left( {{x^2} + {y^2} – 6x – 8y} \right)i\end{array}\)
Theo giả thiết \((z – 6)(8 – i.\bar z)\) là số thực nên \({x^2} + {y^2} – 6x – 8y = 0\)
Do đó \(A;B \in (C):{x^2} + {y^2} – 6x – 8y = 0\) là đường tròn tâm \(I(3;4)\), bán kính \(R = 5\).
Xét điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {MO} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow {OM} \).
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB,\quad \) khi đó: \(H{I^2} = {R^2} – H{B^2} = 16\),
\(IM = \sqrt {H{I^2} + H{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2}.\)
Suy ra: Điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(I(3;4)\), bán kính \({R_1} = \frac{{\sqrt {73} }}{2}\).
Ta có: \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = |\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} | = |4\overrightarrow {OM} | = 4OM\)
\( \Rightarrow {\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} \Leftrightarrow 4O{M_{\min }} = 4\left| {OI – {R_1}} \right| = 4\left( {5 – \frac{{\sqrt {73} }}{2}} \right) = 20 – 2\sqrt {73} .\)
Vậy \({\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} = 20 – 2\sqrt {73} \).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời