Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x)=x^2+10 x, \forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=f\left(x^4-8 x^2+m\right)\) có đúng 9 điểm cực trị?

Câu 50: Đề tham khảo 2022
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x)=x^2+10 x, \forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=f\left(x^4-8 x^2+m\right)\) có đúng 9 điểm cực trị?

A. 16
B. 9
C. 15
D. 10

LỜI GIẢI

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;x=-10\).

\(y’=(4x^3-16x).f’\left(x^4-8x^2+m\right)=0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4{x^3} – 16x = 0 \vee f\left( {{x^4} – 8{x^2} + m} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x = 0 \vee x =  – 2 \vee {x^4} – 8{x^2} + m = 0 \vee {x^4} – 8{x^2} + m =  – 10\\
 \Leftrightarrow x = 0;x = 2;x =  – 2;{x^4} – 8{x^2} =  – m(1);{x^4} – 8{x^2} =  – m – 10(2)
\end{array}\) 

Để hàm số \(y=f\left(x^4-8 x^2+m\right)\) có 9 điểm cực trị thì \(f’\left(x^4-8 x^2+m\right)=0\) phải có 6 nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình (1) phải có 2 nghiệm và phương trình (2) phải có 4 nghiệm.

Ta có: \(\left\{\begin{array}l-m \geq 0 \ -16<-m-10<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}lm \leq 0 \ -10<m<6\end{array} \Leftrightarrow-10<m \leq 0\right.\right.\).
Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in\{-9;-8; \ldots:-1: 0\}\).
Vậy có 10 giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn đề bài