Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m – 4\). Tìm để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m – 4\). Tìm để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị?

A. \( – 3 < m < 1\)     
B. \(m > 1\) 
C. \(m > 4\)    
D. \(m > 0\) 

Lời giải tham khảo:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) nhận đượcbằng cách như sau :

+) Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Xóa phần đồ thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) bên trái trục Oy.

+) Lấy đối xứng toàn bộ phần đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) bên phải trục Oy qua Oy.

Do đó hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải có 2 điểm cực trị phân biệt có hoành độ dương \( \Leftrightarrow \) phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Xét phương trình \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + m + 3 = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( {m + 1} \right)^2} – \left( {m + 3} \right) > 0\\S = 2\left( {m + 1} \right) > 0\\P = m + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m – 2 > 0\\m >  – 1\\m >  – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  – 2\end{array} \right.\\m >  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\).