Một tấm kim loại hình Elip có độ dài trục lớn bằng \(80cm\) và độ dài trục bé bằng \(60cm\). Hai đường Parabol \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) đi qua tâm và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của Elip, đồng thời \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) đối xứng nhau qua trục lớn phân chia Elip thành hai phần (như hình vẽ). Phần tô màu người ta mạ Đồng, phần còn lại người ta mạ Bạ C. Giá mạ đồng là 100 ngàn đồng/\(d{m^2}\) và giá mạ bạc là 200 ngàn đồng/\(d{m^2}\). Hỏi số tiền để mạ tấm kim loại trên gần với số nào nhất trong các số sau?

Một tấm kim loại hình Elip có độ dài trục lớn bằng \(80cm\) và độ dài trục bé bằng \(60cm\). Hai đường Parabol \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) đi qua tâm và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của Elip, đồng thời \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) đối xứng nhau qua trục lớn phân chia Elip thành hai phần (như hình vẽ). Phần tô màu người ta mạ Đồng, phần còn lại người ta mạ Bạ C. Giá mạ đồng là 100 ngàn đồng/\(d{m^2}\) và giá mạ bạc là 200 ngàn đồng/\(d{m^2}\). Hỏi số tiền để mạ tấm kim loại trên gần với số nào nhất trong các số sau?

Lời giải::

Chọn A

Chọn hệ tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O\) là tâm của Elip và hai tiêu điểm nằm trên trục hoành.

Ta có độ dài trục lớn \(2a = 8 \Leftrightarrow a = 4(dm)\), độ dài trục bé \(2b = 6 \Leftrightarrow b = 3(dm)\)

Suy ra phương trình Elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{3}{4}\sqrt {16 – {x^2}} \\y = – \frac{3}{4}\sqrt {16 – {x^2}} \end{array} \right.\).

\(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( { – 4;3} \right)\) và \(\left( {4;3} \right)\) \( \Rightarrow \left( {{P_1}} \right):y = \frac{3}{{16}}{x^2}\).

Diện tích của tấm kim loại là \({S_E} = 2\int\limits_{ – 4}^4 {\frac{3}{4}\sqrt {16 – {x^2}} dx = 12\pi } \)\(\left( {d{m^2}} \right)\).

Xét phương trình \(\frac{3}{{16}}{x^2} = \frac{3}{4}\sqrt {16 – {x^2}} \Leftrightarrow {x^4} + 16{x^2} – 256 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { – 8 + 8\sqrt 5 } \).

Diện tích phần mạ Bạc là \({S_B} = 2\int\limits_{ – \sqrt { – 8 + 8\sqrt 5 } }^{\sqrt { – 8 + 8\sqrt 5 } } {\left( {\frac{3}{4}\sqrt {16 – {x^2}} – \frac{3}{{16}}{x^2}} \right)} \approx 25,596\)\(\left( {d{m^2}} \right)\).

Vậy số tiền cần mạ tấm kim loại là: \(200{S_B} + 100({S_E} – {S_B}) \approx 6,33\)(triệu đồng)