Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} – 2m{x^2} + 64x} \right|\) có đúng ba điểm cực trị?

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} – 2m{x^2} + 64x} \right|\) có đúng ba điểm cực trị?

A. \(5\). B. \(6\). C. \(12\). D. \(11\).

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} – 2m{x^2} + 64x\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } g\left( x \right) =  + \infty \)

\(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^3} – 2mx + 64 = 0\end{array} \right.\). 

Suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm đơn phân biệt.

Do đó hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có đúng ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(y = g\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị.

Ta có \(g’\left( x \right) = 4{x^3} – 4mx + 64\). 

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m = {x^2} + \frac{{16}}{x}\) (vì \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(g’\left( x \right) = 0\)).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^2} + \frac{{16}}{x}\).

                    \(h’\left( x \right) = 2x – \frac{{16}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} – 16}}{{{x^2}}}\).

                        \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

                    Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(m \le 12\). 

Vậy có \(12\) giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.