Đề toán 2022 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(a\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} + a.{x^2} – 8x} \right|\) có đúng ba điểm cực trị?

Đề toán 2022 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(a\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} + a.{x^2} – 8x} \right|\) có đúng ba điểm cực trị?

A. \(5\). B. \(6\). C. \(11\). D. \(10\).

Lời giải

Đặt \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^2} – 8x \Rightarrow f'(x) = 4{x^3} + 2ax – 8.\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 2ax – 8 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{4 – 2{x^3}}}{x} = g(x)\) (vì \(x = 0\) không phải là nghiệm)

\(f(x) = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^3} + ax – 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\a = \frac{{8 – {x^3}}}{x} = h(x)\end{array} \right.\) (vì \(x = 0\) không phải là nghiệm)

Ta có \(g'(x) = \frac{{ – 4{x^3} – 4}}{{{x^2}}};\,h(x) = \frac{{ – 2{x^3} – 8}}{{{x^2}}}\).

Bảng biến thiên của \(g(x):\)

Bảng biến thiên của \(h(x)\):

Ta thấy:

 Nếu \(a <  – 6\) thì \(f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị và \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm đơn nên \(y = \left| {f(x)} \right|\) có ít nhất 5 điểm cực trị.

 Nếu \(a \ge  – 6\) thì \(f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị và \(f(x) = 0\) có đúng hai nghiệm đơn nên \(y = \left| {f(x)} \right|\) có đúng 3 điểm cực trị.

Như vậy \(y = \left| {f(x)} \right|\) có đúng 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow a \ge  – 6\).

Vì \(a\) nguyên âm nên \(a \in \left\{ { – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1} \right\}\). Do đó có 6 giá trị \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.