Câu hỏi:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} + 2az + {b^2} + 2 = 0\) ( \(a,\,b\) là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực \((a\,;\,b)\) sao cho phương trình đó có hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn \({z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i\) ?
A. \(4\) .
B. \(2\) .
C. \(3\) .
D. \(2\) .
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\Delta ‘ = {a^2} – \left( {{b^2} + 2} \right)\) và theo định lí Vi-ét lại có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = – 2a\\{z_1}{z_2} = {b^2} + 2\end{array} \right.\) .
TH 1: khi \(\Delta ‘ \ge 0\) thì \({z_1}\) , \({z_2}\) là các số thực.
\({z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3\\{z_2} = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = – \frac{9}{4}\\{b^2} = {z_1}{z_2} – 2 = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{9}{4};\,b = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\\a = – \frac{9}{4};\,b = – \frac{{\sqrt {10} }}{2}\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\end{array} \right.\) .
TH 2: khi \(\Delta ‘ < 0\) thì \({z_1}\) , \({z_2}\) là các số phức có phần ảo khác 0và \({z_1} = \overline {{z_2}} \) .
Đặt \({z_1} = m + in\) thì \[{z_2} = m – in\] , khi đó
\({z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i \Leftrightarrow \left( {m + 2n} \right) + i\left( {2m + n} \right) = 3 + 3i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2n = 3\\2m + n = 3\end{array} \right. \Rightarrow m = n = 1\) .
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = – \frac{1}{2}2m = – 1\\{b^2} = {z_1}{z_2} – 2 = {m^2} + {n^2} – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = 0\end{array} \right.\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\] .
Vậy có ba bộ \(\left( {a\,;\,b} \right)\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
=======
Trả lời