Đề bài: Cho $\Delta ABC$ có đỉnh $A$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha) $ hai đỉnh $B,C$ có hình chiếu xuống $(\alpha) $ lần lượt là $B_1,C_1$ sao cho $\Delta AB_1C_1$ là tam giác đều cạnh $a$. Giả sử $CC_1=a$ và $BB_1=\frac{a}{2} $.Gọi $I$ là giao điểm của $BC,B_1C_1$$a.$ Chứng minh rằng $IA\bot AC$$b.$ Tính diện tích $\Delta ABC$ rồi suy ra giá trị của góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(\alpha) $ và $(ABC)$

Lời giải

$a.$ Từ giả thiết $CC_1=2BB_1$ suy ra $B,B_1$ theo thứ tự lag trung điểm của $IC,IC_1$
Trong $\Delta AIC_1$ ta có :
$B_1A=B_1C_1=B_1I\Rightarrow  \Delta AIC_1$ vuông tại $A$
Vậy ta có :
$\begin{cases} IA\bot AC_1\\IA\bot CC_1\end{cases} \Rightarrow  IA\bot (ACC_1)\Rightarrow  IA\bot AC$
$b.$ Ta có :
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2} S_{\Delta AIC}=\frac{1}{4} AC.AI           (1)$
trong đó :
$AC^2=C_1C^2+C_1A^2=a^2+a^2=2a^2\Rightarrow  AC=a\sqrt{2}        (2) $
$AI^2=C_1I^2-C_1A^2=4a^2-a^2=3a^2\Rightarrow  AI=a\sqrt{3}         (3)$
Thay $(2),(3)$ vào $(1)$ ta được :
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4} .a\sqrt{2} .a\sqrt{3=\frac{a^2\sqrt{6} }{4} } $
Ta có :
$S_{\Delta AB_1C_1}=\frac{a^2\sqrt{3} }{4} $ vì $\Delta AB_1C_1$ là tam giác đều cạnh $a$
$S_{AB_1C_1}=S_{\Delta ABC}.cos\varphi\Rightarrow  cos\varphi =\frac{S_{\Delta AB_1C_1}}{S_{\Delta ABC}} =\frac{\frac{a^2\sqrt{3} }{4} }{\frac{a^2\sqrt{6} }{4} } =\frac{\sqrt{2} }{2} \Rightarrow  \varphi =45^0$