📌 Đề bài (Câu 4 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. $y = \frac{2x + 1}{x – 1}$
B. $y = x^3 – 3x$
C. $y = x^4 – 2x^2$
D. $y = x^3 – 3x^2 + 2$
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Ta lần lượt xét từng phương án:
- Xét phương án A: Hàm số $y = \frac{2x + 1}{x – 1}$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1}{(x – 1)^2} = \frac{-3}{(x – 1)^2} < 0, \quad \forall x \neq 1$.
Do $y’$ không đổi dấu (luôn mang dấu âm) trên từng khoảng xác định $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$, hàm số luôn nghịch biến và không có cực trị. Bạn có thể tìm hiểu thêm về dạng toán này qua bài viết khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất. - Xét phương án B: $y = x^3 – 3x \Rightarrow y’ = 3x^2 – 3$. Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ (2 nghiệm phân biệt, $y’$ đổi dấu 2 lần) nên hàm số có 2 điểm cực trị.
- Xét phương án C: $y = x^4 – 2x^2 \Rightarrow y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$. Hàm số có 3 điểm cực trị (xem thêm dạng cực trị của hàm số trùng phương).
- Xét phương án D: $y = x^3 – 3x^2 + 2 \Rightarrow y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Hàm số có 2 điểm cực trị. Tham khảo dạng bài tính số điểm cực trị của hàm số bậc ba.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
1. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị:
- Điểm $x_0$ là điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ nếu hàm số liên tục tại $x_0$ và đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$.
- Nếu đạo hàm $f'(x) > 0$ hoặc $f'(x) < 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định (không đổi dấu) thì hàm số không có cực trị.
2. Nhận biết nhanh các hàm số không có cực trị:
- Hàm phân thức bậc nhất / bậc nhất: $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($ad – bc \neq 0$, $c \neq 0$) luôn có $y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2} \neq 0$ trên TXĐ $\Rightarrow$ Hàm số không bao giờ có cực trị.
- Hàm số bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) không có cực trị khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (tức $\Delta_{y’} \le 0$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào không có điểm cực trị?
A. $y = \frac{x – 3}{x + 2}$
B. $y = -x^3 + 3x^2 – 1$
C. $y = x^4 + 4x^2$
D. $y = x^3 – 3x^2$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Hàm số $y = \frac{x – 3}{x + 2}$ có $y’ = \frac{5}{(x+2)^2} > 0, \forall x \neq -2$ nên không có cực trị.
Đáp án: A
Đáp án: A
Bài tập 2: Cho các hàm số sau: (I) $y = x^3 + 3x – 2$, (II) $y = \frac{3x + 1}{x – 2}$, (III) $y = -x^4 – 2x^2 + 1$. Số lượng hàm số không có cực trị là:
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
- (I): $y’ = 3x^2 + 3 > 0, \forall x \Rightarrow$ Không có cực trị.
- (II): $y’ = \frac{-7}{(x-2)^2} < 0, \forall x \neq 2 \Rightarrow$ Không có cực trị.
- (III): $y’ = -4x^3 – 4x = -4x(x^2 + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow$ Có 1 điểm cực trị.
Vậy có 2 hàm số không có cực trị.
Đáp án: C
Bài tập 3: Hàm số bậc ba nào dưới đây không có cực trị?
A. $y = x^3 – 3x + 1$
B. $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2$
C. $y = x^3 – 3x^2 + 1$
D. $y = -x^3 + 3x$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Xét phương án B: $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \Rightarrow y’ = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x+1)^2 \ge 0, \forall x$. Đạo hàm triệt tiêu tại điểm duy nhất $x = -1$ và không đổi dấu qua điểm đó, nên hàm số không có cực trị.
Đáp án: B
Đáp án: B
Bài tập 4: Khẳng định nào sau đây là đúng đối với hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($ad – bc \neq 0, c \neq 0$)?
A. Có đúng một điểm cực trị
B. Có hai điểm cực trị
C. Không có điểm cực trị
D. Có vô số điểm cực trị
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Đạo hàm $y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$ luôn cùng dấu với tử số $ad – bc$ trên từng khoảng xác định, do đó đạo hàm không bao giờ đổi dấu $\Rightarrow$ Hàm số không có điểm cực trị.
Đáp án: C
Đáp án: C
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + 1$ không có cực trị.
A. $m \ge 3$
B. $m > 3$
C. $m \le 3$
D. $m < 3$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có: $y’ = 3x^2 + 6x + m$.
Hàm số bậc ba không có cực trị khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là:
$\Delta’ = 3^2 – 3m = 9 – 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 3$.
Đáp án: A
Hàm số bậc ba không có cực trị khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là:
$\Delta’ = 3^2 – 3m = 9 – 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 3$.
Đáp án: A
Để lại phản hồi