Sách Toán - Học Toán - Đề Thi Toán

Học toán, Đề thi toán, Sách giáo khoa Toán, trắc nghiệm Toán online

Cho hàm số $y = \frac{2x + 1}{x – 1}$. Xét tính đúng sai:

by Để lại bình luận

📌 Đề bài (Câu 8 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):

Cho hàm số $y = \frac{2x + 1}{x – 1}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
b) Đạo hàm của hàm số là $y’ = \frac{-3}{(x – 1)^2}$
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$
d) Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$

💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Xét lần lượt từng mệnh đề:

• Ý a): Điều kiện xác định của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất là mẫu số khác $0$, tức là $x – 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$. Do đó, tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
👉 Mệnh đề a ĐÚNG.

• Ý b): Áp dụng công thức tính nhanh đạo hàm cho hàm số dạng $y = \frac{ax + b}{cx + d} \Rightarrow y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$:
Ta có $a = 2, b = 1, c = 1, d = -1 \Rightarrow ad – bc = 2(-1) – 1(1) = -3$.
Vậy $y’ = \frac{-3}{(x – 1)^2}$.
👉 Mệnh đề b ĐÚNG.

• Ý c): Vì tử số $-3 < 0$ và mẫu số $(x - 1)^2 > 0, \forall x \neq 1$, nên $y’ < 0, \forall x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
👉 Mệnh đề c ĐÚNG.

• Ý d): Theo quy ước và định nghĩa toán học trong SGK, tính đồng biến hoặc nghịch biến của một hàm số chỉ được xét và kết luận trên từng khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn đơn lẻ. Tuyệt đối không kết luận đơn điệu trên tập hợp có phép hiệu $\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$ hoặc phép hợp $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Bạn có thể xem thêm bài toán tương tự tại Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng? để nắm vững quy ước này.
👉 Mệnh đề d SAI.

👉 Kết luận Đúng/Sai: A – ĐÚNG, B – ĐÚNG, C – ĐÚNG, D – SAI.

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ

  • Quy tắc đạo hàm hàm số nhất biến: $y = \frac{ax + b}{cx + d} \implies y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$.
  • Nếu $ad – bc > 0 \implies y’ > 0, \forall x \neq -\frac{d}{c} \implies$ Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -\frac{d}{c})$ và $(-\frac{d}{c}; +\infty)$.
  • Nếu $ad – bc < 0 \implies y' < 0, \forall x \neq -\frac{d}{c} \implies$ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -\frac{d}{c})$ và $(-\frac{d}{c}; +\infty)$.
  • Lưu ý bẫy trắc nghiệm: Không dùng từ nối “và”, ký hiệu hợp “$\cup$”, hay hiệu “$\setminus$” gộp chung khi viết mệnh đề kết luận tính đơn điệu. Tham khảo thêm về cách xét dấu đạo hàm tại bài tập xét bảng dấu đạo hàm của hàm số và dạng bài đa thức bậc ba tại xét tính đúng sai của hàm số bậc ba.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)

Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x – 3}{x + 2}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $y’ = \frac{5}{(x + 2)^2}$.
c) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
d) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– Ta có: $y’ = \frac{1(2) – (-3)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} > 0, \forall x \neq -2$.
– Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai (sai cách phát biểu tập hợp) | d) Đúng.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{-x + 2}{2x + 1}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Điểm không thuộc tập xác định của hàm số là $x = -\frac{1}{2}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $y’ = \frac{-5}{(2x + 1)^2}$.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -\frac{1}{2})$.
d) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; -\frac{1}{2})$ và $(-\frac{1}{2}; +\infty)$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– Ta có: $ad – bc = (-1)(1) – (2)(2) = -5 \implies y’ = \frac{-5}{(2x + 1)^2} < 0, \forall x \neq -\frac{1}{2}$.
– Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{3x – 1}{x – 2}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $y’ = \frac{-5}{(x – 2)^2}$.
b) Hàm số có đạo hàm luôn âm với mọi $x \in \mathbb{R}$.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
d) Hàm số nghịch biến trên $(2; +\infty)$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– Ta có: $y’ = \frac{3(-2) – (-1)(1)}{(x – 2)^2} = \frac{-5}{(x – 2)^2} < 0, \forall x \neq 2$.
– Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Sai (chỉ âm với $x \neq 2$) | c) Sai (không dùng ký hiệu $\cup$) | d) Đúng.

Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{4x + 1}{2x – 1}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $y’ = \frac{-6}{(2x – 1)^2}$.
c) Đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
d) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; \frac{1}{2})$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– Ta có: $y’ = \frac{4(-1) – 1(2)}{(2x – 1)^2} = \frac{-6}{(2x – 1)^2} < 0, \forall x \neq \frac{1}{2}$. Vì đạo hàm không đổi dấu nên hàm số không có cực trị và nghịch biến trên từng khoảng xác định.
– Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai.

Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{mx – 2}{x – m + 1}$ ($m$ là tham số). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Khi $m = 2$, hàm số trở thành $y = \frac{2x – 2}{x – 1} = 2$ với mọi $x \neq 1$.
b) Khi $m = 3$, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
c) Khi $m = 0$, đạo hàm của hàm số là $y’ = \frac{2}{(x + 1)^2}$.
d) Đạo hàm của hàm số với $m$ bất kỳ là $y’ = \frac{-m^2 + m + 2}{(x – m + 1)^2}$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– Ta có: $y’ = \frac{m(-m + 1) – (-2)(1)}{(x – m + 1)^2} = \frac{-m^2 + m + 2}{(x – m + 1)^2}$.
– Với $m = 3 \implies y’ = \frac{-(3)^2 + 3 + 2}{(x – 2)^2} = \frac{-4}{(x – 2)^2} < 0 \implies$ nghịch biến.
– Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Sai (nghịch biến) | c) Đúng | d) Đúng.

Reader Interactions

Để lại phản hồi