Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng:

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

Với mọi $x \in (0; +\infty)$, ta có hai số hạng $x > 0$ và $\frac{4}{x} > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x$ và $\frac{4}{x}$:

$$y = x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$$x = \frac{4}{x} \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2 \quad (\text{do } x > 0)$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$ là $\min_{(0; +\infty)} y = 4$ tại $x = 2$.

Cách 2: Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số (Đạo hàm)

Xét hàm số $y = f(x) = x + \frac{4}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

Đạo hàm: $y’ = 1 – \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 – 4}{x^2}$.

Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \in (0; +\infty)$).

Bảng biến thiên:

• Khi $x \in (0; 2) \Rightarrow y’ < 0$ (hàm số nghịch biến).
• Khi $x \in (2; +\infty) \Rightarrow y’ > 0$ (hàm số đồng biến).
• Tại $x = 2$, $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$.
• Khi $x \to 0^+$ thì $y \to +\infty$; khi $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$.

Từ bảng biến thiên, ta kết luận $\min_{(0; +\infty)} y = 4$ đạt được tại $x = 2$.

👉 Chọn đáp án: A